1 Dividir usando el inverso.
2 Dividir usando el conjugado. El cociente en su forma binómica
3 Ejemplo
4 División en forma polar
5 Ejemplos
6 Ejercicios con respuestas



La división
Se define la división de dos números complejos a través de la multiplicación por el inverso.

Sean $z_1$ y $ z_2 $, con $z_2\ne0$, $$z_1 \div z_2= z_1 \cdot \frac{1 }{z_2 }$$ En el botón mostramos cómo calcular $(2+i) \div (1+3i)$ con este método del inverso
Ejemplo Calcular $(2+i) \div (1+3i)$ por el método del inverso
Solución
Recuerde la fórmula del inverso de $a+bi$ $$\frac{1 }{a+bi }=\frac{a }{ a^2+b^2}- \frac{b }{ a^2+b^2}i$$ En nuestro caso necesitamos el inverso de $1+3i$, está dado por \begin{array} {ll} \frac{1 }{1+3i }&=\frac{1 }{ 1^2+3^2}- \frac{3 }{ 1^2+3^2}i\\ &= \frac{1 }{ 10}- \frac{3 }{ 10}i \end{array}

El procedimiento para conseguir el cociente se basa en multiplicar el dividendo por el inverso del divisor \begin{array}{ll} (2+i) \div (1+3i)&=(2+i) \cdot \frac{1 }{ 1+3i }\\ &=(2+i)\cdot ( \frac{1 }{ 10}- \frac{3 }{ 10}i) \\ &= \frac{2 }{ 10}-\frac{6 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i-\frac{ 3}{ 10}i^2\\ &=\frac{2 }{ 10}-\frac{6 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i-\frac{ 3}{ 10}(-1)\\ &=\frac{2 }{ 10}-\frac{5 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i+\frac{ 3}{ 10}\\ &=\frac{5 }{ 10}-\frac{7 }{ 10}i \end{array} donde se usó el hecho que $i^2=1$ y en la última línea se simplificó al sumar las partes reales y sumar los términos imaginarios puros, como si fueran términos semejantes.



Veamos otro procedimiento para recordar con mayor facilidad cómo dividir números complejos.



La división usando el conjugado
El cociente lo solemos escribir usando la notación de fracción $$\frac{ z_1 } {z_2 }$$
Con esta forma recordamos la división, realizándola de manera similar a la racionalización del denominador, multiplicando numerador y denominador por la conjugada del denominador, para deshacernos de números complejos en el denominador.


Es frecuente expresar el cociente en su forma binomial, para eso se separan las fracciones.





Ejemplo Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). $$\frac{5+2i}{-2+3i}$$.
Solución

Haz clic para ver el desarrollo por pasos

Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador
\begin{array}{cl} \frac{5+2i}{-2+3i} &=& \frac{(5+2i)\cdot (-2-3i) }{ (-2+3)\cdot (-2-3i) } \end{array}

Efectuar las multiplicaciones del numerador y del denominador. Simplificar
En el numerador usamos la propiedad distributiva. En el denominador el producto notable $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ \begin{array}{cl} \frac{5+2i}{ -2+3i} &=& \frac{(5+2i)\cdot (-2-3i) }{ (-2+3)\cdot (-2-3i) } \\ &=& \frac{ -10-15i-4i-6i^2 }{ (-2)^2- (3i)^2 } \\ &=& \frac{ -10-19i-6i^2 }{4- 3^2\cdot i^2 } \\ \end{array} En la última línea se sumaron los términos semejantes en el numerador. En el denominador se aplicó la propiedad de la potencia de un producto: $(xy)^n=x^ny^n$

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{5+2i}{-2+3i} &=& \cdots \\ &=& \frac{ -10-19i-6(-1) }{4- 3^2\cdot(-1) } \\ &=& \frac{ -10-19i+6 }{4+9 } \\ &=& \frac{ -4-19i }{13 } \\ \end{array}

Expresarlo en su forma binómica
Para expresar en la forma $a+bi$ descomponemos el resultado como una diferencia de fracciones con igual denominador : $\frac{ -4 }{13 }- \frac{ 19i }{13 }$ y entonces, la parte imaginaria la descomponemos como un producto: $$\frac{ -4 }{13 }- \frac{ 19 }{13 }i$$

Como $\frac{z_1}{z_2 }=cociente$, podemos verificar, efectuando la multiplicación $z_2\cdot cociente$ y comprobando que es igual a $z_1$




División en forma polar Podemos dividir rápidamente dos números complejos dados en su forma polar, $z_1=p_\alpha$ entre $ z_2=q_\beta$, donde $p$ y $q$ son los módulos y $\alpha$ y $\beta$ los argumentos respectivos, donde $q \ne 0$. Usando las identidades del seno y coseno de las diferencias podemos demostrar $$\frac{p_\alpha } {q_\beta }=\left ( \frac {p } {q }\right )_{\alpha -\beta } $$
Esto es, el cociente es un número complejo con

      módulo el cociente de los módulos y
      argumento la diferencia de los argumentos




Ejemplo Exprese el cociente $z_1/z_2$ en su forma polar. $$z_1= 6_{120º} \qquad\qquad z_2= 2_{75º}\ $$
\begin{array}{cl} \frac{ 6_{120º} } {2_{75º} } & = \left ( \frac{6 } {2 }\right )_{ 120º -75º }\\ & = 3_{45º}\\ \end{array} El cociente es un número complejo con módulo igual a 3 y argumento igual a 45º.




Recuerde


De la forma polar podemos pasar a la forma binómica usando la trigonométrica $$z=r_\theta=r(cos(\theta)+sen(\theta)i)$$
Muchas veces, se expresa el argumento, $\theta$, tal que $0º\leq \theta \leq 360º$.


Ejercicios Exprese el cociente en su forma binómica.
\begin{array}{lll} &a) \frac{1+3\,i}{2-3\,i} \qquad &b)\ \frac{5+i}{5+3\,i} \qquad c)&\ \frac{3+2\,i}{5\,i} \\ \qquad &d) \frac{2\,i+\frac{1}{3}}{-3\,i-\frac{1}{3}} \qquad &e) \ \frac{\sqrt{3}\,i+1}{2-\sqrt{3}\,i} \\ \end{array}
\begin{array}{lll} & a)\ -\frac{7}{13}+ \frac{9}{13} \,i \qquad b) & \frac{14}{17}-\frac{5}{17}\,i \qquad c) & 0.4-0.6\,i \\ & d)\ -\frac{55}{82}+ \frac{3}{82}\,i \qquad e) & -\frac{1}{7}+\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{7} i \end{array}


Ejercicios Para cada uno de los siguientes, encuentre el cociente $z_1/z_2$, en su forma polar
\begin{array}{lll} &a) z_1=40_{30º} \; \text{ y } \; z_2=20_{10º} \qquad b)&\ z_1=1_{60º} \; \text{ y } \; z_2=\sqrt{3}_{45º} \\ &c) z_1=\left (\frac{1}{3} \right)_{30} \; \text{ y } \; z_2=3_{-45º} \qquad d)& \ z_1=2_{-50º} \; \text{ y } \; z_2=4_{60º} \\ \end{array}
\begin{array}{lll} & a)\ 2_{20º} \qquad b) & \left ( \frac{ \sqrt{3} } {3} \right) _{ 15º } \qquad c) & \left ( \frac{1}{9} \right) _{ 75º } \\ & d)\ \left ( \frac{1}{2} \right) _{ 250º } \qquad \end{array}

DIVISIÓN DE
NÚMEROS COMPLEJOS
Expresar el cociente en su forma binómica y
en su forma polar

MÁS SOBRE