RECÍPROCO DE
UN NÚMERO COMPLEJO



El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número $z$, distinto de cero, existe un número, llamado el el inverso, denotado por $z^{-1}$, que cumple $$z\cdot z^{-1}=1$$




Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de $z=a+bi$, con $ a\cdot b \ne 0 $ , es $$z^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$
Prueba
Tenemos que demostrar que $z\cdot z^{ -1}=1$
Sustituímos \begin{array}{cl} (a+bi)\cdot \frac{a-bi}{a^2+b^2} &=& \frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}\\ &=& \frac{a^2-(bi)^2}{a^2+b^2}\\ &=& \frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}\\ &=& \frac{a^2-b^2(-1)}{a^2+b^2}\\ &=& \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ &=&1 \end{array}
 
Esta fórmula puede ser recordada como

El inverso de un número complejo es
su conjugado partido entre el cuadrado de su módulo


 
Ejemplo
Encontrar el inverso de 2-3i usando la fórmula.
Solución Se sustituye $a$ por $2$ y $b$ por $ -3$
\begin{array}{cl} \frac{1 }{(2-3i)} &=& \frac{2-(-3)i}{2^2+3^2} \\ &=& \frac{2+3i}{13} \end{array}




Para recordar más fácilmente el recíproco lo denotaremos por $$\frac{1}{a+bi}$$ y obtendremos la forma dada multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.
\begin{array}{cl} \frac{1}{a+bi}&=& \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} \\ &=& \frac{a-bi}{a^2-(bi)^2} \\ &=& \frac{a-bi}{a^2-b^2(i)^2} \\ &=& \frac{a-bi}{a^2-b^2(-1)} \\ &=& \frac{a-bi}{a^2+b^2} \\ \end{array}






Ejemplo Encuentre el recíproco de $3-4i$ usando el conjugado. Exprese el recíproco en la forma binómica (representación estándar).
Solución

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Escribir el inverso como $\frac{1 }{a+bi }$ y multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.
$$\frac{1} { 3-4i}= \frac{ 3+4i } {( 3-4i) (3+4i) }$$

Aplicar el producto notable de una suma por su diferencia en el denominador, $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ . Luego la potencia de un producto
\begin{array}{cl} \frac{1} { 3-4i} &= & \frac{ 3+4i } {( 3-4i) (3+4i) }\\ &= & \frac{ 3+4i } {3^2-(4i)^2 }\\ &= & \frac{ 3+4i } {9-4^2i^2 }\\ \end{array}

Usar que $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{1} { 3-4i} &= & cdots \\ &= & \frac{ 3+4i } {9-4^2(-1) }\\ &= & \frac{ 3+4i } {9+16 }\\ &= & \frac{ 3+4i } { 25 }\\ \end{array}

Expresarlo en la forma binómica.
El número $ \frac{ 3+4i } { 25 }$ hay que llevarlo a la forma $a+bi$. Para eso, descomponemos la fracción como una suma de fracciones con igual denominador $ \frac{ 3+4i } { 25 } = \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4i } { 25 } $.
Finalmente, descomponemos $ \frac{ 4i } { 25 } $ como un producto. Obteniendo el recíproco en la forma binomial $$ \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4 } { 25 } i $$

Puede o no verificar, comprobando que $$ (3-4i)\cdot ( \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4 } { 25 } i)=1$$




Ejemplo Encuentre el inverso o recíproco de $\frac{1 }{3 }+2 i $. Exprese el recíproco en la forma estándar (binómica).
Solución
Escribir el inverso como $\frac{1 }{a+bi }$ y multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.
$$\frac{1} { \frac{1 }{3 }+2 i}= \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 }+2 i) (\frac{1 }{3 }-2 i) }$$

Aplicar el producto notable de una suma por su diferencia en el denominador, $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ . Luego, la potencia de un producto y de un cociente.
\begin{array}{cl} \frac{1} { \frac{1 }{3 }+2i } &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 }+2 i) (\frac{1 }{3 }-2 i) } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 })^2-(2 i)^2 } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 })^2-2^2 ( i)^2 } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }-4 i^2 } \\ \end{array}

Usar que $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{1} { \frac{1 }{3 }+2 i } &= & \cdots \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }-4 (-1) } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }+4 } \\ \end{array} Tenemos una fracción compuesta, en el sentido que tenemos fracciones en el numerador y en el denominador. Para deshacernos de los denominadores de cada parte de la fracción multiplicamos todo el numerador y todo el denominador por el mcm de los denominadores, en nuestro caso por 9, distribuimos y simplificamos en cada parte de la fracción. \begin{array}{cl} &= & \frac{ 9( \frac{1 }{3 }-2 i) } {9( \frac{1 }{9 }+4 ) } \\ &= & \frac{ 9 \frac{1 }{3 }-18 i } {9 \frac{1 }{9 }+36 } \\ &= & \frac{ 3-18 i } {1+36 } \\ &= & \frac{ 3-18 i } {37 } \\ \end{array}

Expresarlo en la forma binómica.
El número $ \frac{ 3-18 i } {37 } $ hay que llevarlo a la forma $a+bi$. Para eso, descomponemos la fracción como una diferencia de fracciones con igual denominador $ \frac{ 3-18 i } {37 } = \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18i } {37 } $.
Finalmente, descomponemos $ \frac{ 18i } { 37 } $ como un producto. Obteniendo el recíproco en la forma binomial $$ \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18 } {37 } i $$

Puedes o no verificar, comprobando que $$( \frac{1 }{3 }+2 i ) \cdot ( \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18 } {37 } i )=1$$




Con la conjugada se busca una expresión equivalente con el denominador un número real.

Si el número es imaginario puro, $bi$, su conjugada es $-bi$

Ejercicio Encuentre el inverso de $2 i $.
Solución
$$-\frac{1 }{2 }i$$










Ejercicios Encontrar el recíproco de cada uno de los siguientes. Expresar el inverso en su forma binomial
\begin{array}{lll} & a) \ 1+4i \qquad & b) \ -3-2i \qquad & c) \ 2i+1 \\ & d) \ \frac{2}{3}-3i \qquad & e) \ \sqrt{3}-2i \end{array}
Respuestas
a) $ \frac{1}{17}-\frac{4}{17} i $
b) $-\frac{3}{13}+ \frac{2}{13}i $
c) $ \frac{1}{5}-\frac{2}{5}i $
d) $ +\frac{6}{85}+\frac{27}{85}i $
e) $ \frac{\sqrt{3}}{7} + \frac{2}{7}i $


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