OPERACIONES COMBINADAS CON
NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando hay más de una operación en una expresión con números complejos se debe respetar la jerarquía de las operaciones, tomando en cuenta que se debe primero eliminar los signos de agrupación más internos, respetando la jerarquía, haciendo las operaciones internas o bien aplicando alguna propiedad o definición que permita eliminarlos. Dentro de las operaciones básicas las de mayor jerarquía son la potenciación y radicación, siguen las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha y por último las sumas y restas, de izquierda a derecha.
Podemos ahorrarnos algunas líneas de trabajo si visualizamos si la expresión en una suma, resta o un cociente.



La suma y resta de productos y potencias

En el caso de tener una suma y resta con términos en que aparecen operaciones combinadas, se puede efectuar simultáneamente las operaciones indicadas en los términos.

Ejemplo Efectuar $(4+5i)^2+(3-i)(2+i)-2(2+i)(-2+i) $
   
Solución

La expresión es una suma y resta, donde los términos son productos y potencias.
$ \underbrace{(4+5i)^2}+\underbrace{(3-i)(2+i)}-\underbrace{2(2+i)(-2+i)} $

Efectuaremos las operaciones indicadas en cada término simultáneamente. Subrayamos los términos para seguir las cuentas más fácilmente. En el último término aplicamos la propiedad asociativa, asociando los dos últimos factores y desarrollando el producto de una suma por su diferencia.

$ = \underbrace{16+40i+25i^2}+\underbrace{6+3i-2i-i^2}-\underbrace{2(i^2-4)} $

Se aplica $i^2=-1$      

$ = \underbrace{16+40i+25(-1)}+\underbrace{6+3i-2i-(-1)}-\underbrace{2((-1)-4)} $

Se simplifica      

$= \underbrace{16+40i-25}+\underbrace{6+i+1}-\underbrace{(-10)}$

Se reducen los términos reales y los imaginarios.      

$ = 8+41i$







Cocientes con operaciones en el numerador y en el denominador

Se hacen las operaciones del numerador y del denominador simultáneamente. Cuando ya están escritos en su forma binómica (estándar) se procede hacer la división. Recuerde una manera de hacer la división entre números complejos: multiplicar numerador y el denominador por el conjugado del denominador, para luego simplificar y llevarlo a la forma binómica.

Ejemplo Calcular $$ \frac{(3+2i)(3-i)}{(2-3i)-(3+i)} $$    
Solución Se tiene un cociente. Hacemos las operaciones del numerador y del denominador a la vez

En el numerador se tiene un producto, en el denominador una diferencia.

$\cfrac{(3+2i)(3-i)}{(2-3i)-(3+i)} \\ \\ =\cfrac{9-3i+6i-2i^2}{2-3i-3-i} \\ \\ =\cfrac{9+3i-2(-1)}{-1-4i} \\ \\ =\cfrac{9+3i+2}{-1-4i} \\ \\ =\cfrac{11+3i}{-1-4i}$

Se efectúa la división, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

$ =\cfrac{(11+3i)(-1+4i)}{(-1-4i)(-1+4i)} \\ \\ =\cfrac{-11+44i-3i+12i^2}{(-1)^2-(4i)^2} \\ \\ =\cfrac{-11+41i+12(-1)}{1-16(-1)} \\ \\ =\cfrac{-23+41i}{17} \\ \\ =\cfrac{-23}{17}+\cfrac{41}{17}i $








Suma de cocientes

Hay distintos procedimientos, en el ejemplo efectuamos las divisiones primero, reduciendo las expresiones a la forma binómica para finalmente sumar los complejos resultantes

Ejercicio resuelto Efectúe la suma indicada $$ \frac{3}{4+3i}+\frac{4-3i}{i} $$
Solución $ \\ \cfrac{3}{4+3i}+\cfrac{4-3i}{i} \\ = \cfrac{3\left ( 4-3i \right )}{(4+3i)\left ( 4-3i \right ) }+\cfrac{(4-i)(-i)}{i\cdot(-i)} \\ =\cfrac{12-9i }{ 16-9i^2 }+\cfrac{-4i+i^2}{-i^2} \\ = \cfrac{12-9i }{ 16+9 }+\cfrac{-4i-1}{1} \\ = \cfrac{12}{ 25 }-\cfrac{9 }{ 25 }i+(-1-4i) \\ =- \cfrac{13}{ 25 }-\cfrac{109 }{ 25 }i $







Operaciones combinadas con números conjugados
Adicionalmente, podemos interpretar el tomar conjugado como una operación. Para efectuar esta operación podemos proceder de manera análoga a los paréntesis, efectuar las operaciones indicadas debajo del signo de conjugado hasta llevarlo a la forma binómica para determinar el conjugado.

Ejemplo Efectuar expresando el resultado en la forma binómica $$\overline{(3+2i)(2-i)-i^7}$$
Abajo de la raya del conjugado se tiene una diferencia donde el primer término es un producto y el segundo una potencia de $i$. Se desarrollan estas expresiones. Recuerde que $i^n$ es $i^{resto}$, donde el resto es el de la división entre $4$.

$ \overline{(3+2i)(2-i)-i^7} \\ \\ =\overline{(6-3i+4i-2i^2)-i^3} \\ \\ =\overline{(6+i-2(-1))+i} \\ \\ =\overline{8+2i} \\ \\ =8-2i $




Otra alternativa cuando se tiene que tomar conjugados es ver si es posible aplicar propiedades del conjugado que permitan hacer las cuentas más rápidas y limpias. En el siguiente ejemplo se explica cada paso.


Ejemplo Evalúa $ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_3}}$, donde $z_1=1-2i,\quad z_2=2-i$ y $z_3=3+4i$. Escribe el resultado en forma binómica.
Antes de evaluar, preferimos aplicar propiedades del conjugado.

$ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_3}} $

Conjugado de una suma      

$ =\overline{z_1\cdot \overline{z_2}} -\overline{ \overline{z_3}} $

Conjugado de un producto y de un conjugado      

$ =\overline{z_1} \cdot \overline{\overline{z_2}} -z_3 $

Conjugado de un un conjugado      

$ =\overline{z_1} \cdot {z_2} -z_3 $

Ahora evaluamos,

$ =\overline{1-2i} \cdot (2-i) -(3+4i) $

Conjugado      

$ = \left ( 1+2i \right ) \cdot (2-i) -(3+4i) $

Primero la multiplicación      

$ = \left ( 2-i+4i-2i^2 \right ) -(3+4i) $

$i^2=-1$      


$ = \left ( 2+3i-2(-1) \right ) -(3+4i) $

$ = \left ( 2+3i+1 \right ) -3-4i $

$=-i$






Módulo de operaciones combinadas
En el módulo de una expresión con números complejos, podemos primero efectuar todas las operaciones dentro de las barras, llevándolo a la forma binómica, $a+bi$ , para luego determinar el módulo. Pero también podemos aplicar las propiedades del módulo. En el siguiente ejemplo tomaremos en cuenta la propiedad del módulo del producto y de un cociente (es el producto y el cociente de los módulos). Aplicar otras propiedades también ayudan a disminuir la cantidad de pasos a desarrollar.   Leer más sobre propiedades.

Ejemplo Calcular $$ \left | \frac{(2+i)-i\left (2-3i \right )}{4+3i} \right | $$
Podemos aplicar la propiedad del cociente de los módulos (en vez de determinar el número complejo dentro de las barras)
$\left | \cfrac{(2+i)-i\left (2-3i \right )}{4+3i} \right | \\ \\ =\cfrac{ | (2+i)-i\left (2-3i \right ) | }{| 4+3i |} \\ \\ =\cfrac{ | 2+i-2i +3i^2| }{\sqrt{16+9}} \\ \\ =\cfrac{ | -1 -i | }{5} \\ \\ =\cfrac{ \sqrt{ 2} }{5} $





Ejercicios Realiza las siguientes operaciones.
Escribe los resultados complejos en su forma binómica.
$ a) \ 2(3+i)-(2-4i)\cdot (2-4i) \\ b)\ (1+2i)^2+(-3+4i )i -(2-2i)(1-2i) \\ c) \ (-1+\frac{1}{2}i) (1+\frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2}+2i)- (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i )i \\ d)\ \cfrac{\left( 3-4\,i\right) \,\left(2+i \right ) }{\left( 2-3\,i\right) \,i^3-2\,i} \\ e)\ \left| \cfrac{\left( 1-i\right) \,\left(2+ i \right) }{(2-3\,i)-2\,\left( 1-2\,i\right) }\right| $
Haz clic para ver las respuestas
\begin{array}{lll} & a)\ 18+18i \qquad & b) \ -5+7i & c) \ - \frac{5 } {4 } +\frac{5 } { 3}i \\ & d)\ -\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i & e)\ \sqrt{10 } \end{array}


Ejercicios Evalúa y simplifica las siguientes expresiones para $z_1=1+2i, \ z_2=3-i$ y $z_3=2i$
Expresa los resultados complejos en su forma binómica.

\begin{array}{ll} a) \ z_1z_2-z_3 & b)\ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_1} z_2} \\ \\ c) \ \left| z_1^2(z_2-z_3) \right| \quad &d)\ \cfrac { \left| z_3(z_2-z_3) \right| } { \left| z_3 \right| } \\ \\ e)\ \left| \cfrac { z_3+z_2 } { \overline{z_1 z_2} }\right| \end{array}
\begin{array}{lll} & a)\ 5+3i \qquad & b) \ -14i & c) \ 15 \sqrt{2} \\ & d)\ 3\sqrt{2} & e)\ \sqrt{5 }/5 \end{array}
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