DEFINICIÓN DE
UN NÚMERO COMPLEJO

Introducción La ecuación $x^2=-1$ no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para hacer frente a situaciones como ésta fue ideado el sistema de los números complejos, definiendo primero la unidad imaginaria, denotada por $i$, como la solución de esta ecuación, que por consiguiente cumple $i^2=-1$.
Un número complejo es un número que se puede representar como $a+bi$, con $a$ y $b$ números reales.

$a$ es llamada la parte real del número y $b $ la parte imaginaria.

Ejemplo Determine la parte real y la parte imaginaria de $3+2i$







Si la parte imaginaria es negativa, como por ejemplo $4+(-5)i$, escribimos como una diferencia, $4-5i$

Cuando un número complejo está escrito en la forma $a+bi$ decimos que está en su forma estándar o forma binómica o binomial.

Ejemplo Determine la parte real y la parte imaginaria de $4-i$



Tipos de números complejos
Algunos subconjuntos importantes del conjunto de los números complejos se caracterizan por la parte real o la parte imaginaria, si toman el valor cero o no. Presentamos algunos de los tipos de números complejos más aceptados.

Números reales Cuando vemos el conjunto de los números complejos expresados en su forma binómica, $a+bi$, decimos que el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos, $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}.$
Cuando la parte imaginaria es igual a 0, $b=0$, se tiene el número $a+0i$ que lo escribimos sencillamente como $a$, un número real.

Números imaginarios Se refiere a números no reales, esto es cuando la parte imaginaria es distinta de 0, $b\ne 0$. El número $3+i$ es imaginario. También el número $2i$.

Números imaginarios puros Se refieren a números con parte real igual a 0 y parte imaginaria distinta de cero. Son número de la forma $0+bi$, abreviados por $bi$, con $b\ne 0$.

El cero Es el número $0+0i$, abreviado por $0$. De acuerdo a las definiciones de arriba el $0$ no es un número imaginario, ni imaginario puro.


Ejemplo Clasifique los siguientes números como reales e imaginarios. Indique cuáles son imaginarios puros.



Igualdad y operaciones. Definiciones
La igualdad y las operaciones básicas de los números complejos están definidas de tal manera que las propiedades de los números reales se siguen cumpliendo.

Definición

Igualdad    $a+bi=c+di$ si y sólo si $a=c$   y   $b=d$

Suma     $(a+bi)+(c+di)=(a+c )+(b+d )i$

Multiplicación $(a+bi)\cdot (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i$

La existencia del inverso aditivo y del recíproco permiten definir la resta y la división de números complejos.



Definición

Para $p$ un número real positivo, se define la raíz cuadrada principal de $-p$, denotada por $\sqrt{-p}$, como $$\sqrt{-p}= \sqrt{p}i$$

Ejemplo $$\sqrt{-4}= \sqrt{4}i=2i$$
Esta definición es debido a que cumple la igualdad deseada $(\sqrt{-p})^2= -p$.
Efectivamente, \begin{array}{ll} (\sqrt{-p})^2 &=& (\sqrt{p}i)^2 \\ &=& \sqrt{p}^2i^2 \\ &=& p\cdot i^2 \\ &=& - p \\ \end{array}

Ejemplo Escribir en forma binómica (estándar)


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