PROPIEDADES DE
LOS NÚMEROS COMPLEJOS


El sistema de números complejos, construido a partir de los números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las propiedades sobre la suma y la multiplicación.
Recuerde que dos números complejos, $z_1=a_1+b_1i$   y   $z_2=a_2+b_2i$ son iguales si y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, $a_1=a_2$   y   $b_1=b_2$.
Una idea para demostrar muchas de las propiedades sobre identidades sobre operaciones de suma y multiplicación es efectuar las operaciones de un miembro de la identidad, aplicar las propiedades de los números reales a las partes reales y a las partes imaginarias para llegar al lado derecho de la identidad. De aquí decimos que las propiedades de la suma y la multiplicación son heredadas de las propiedades de los números reales.
Pero el sistema de los números complejos no tiene todas las propiedades de los números reales, por ejemplo no se tienen propiedades de orden.
En la página se enuncian otras propiedades propias del sistema de números complejos junto con algunas pruebas.






Propiedad transitiva
Si $z_1= z_2$ y $z_2= z_3$ entonces $z_1= z_3$
Sean $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$ y $z_3=a_3+b_3i$,

Tenemos que ver que las partes reales de $z_1$ y $z_3$ son iguales.

Por la igualdad de los números complejos se tiene
Si $z_1= z_2$ entonces $a_1= a_2$   y   $b_1= b_2$
Si $z_2= z_3$ entonces $a_2= a_3$   y   $b_2= b_3$

Entonces por la propiedad transitiva de los números reales como $a_1= a_2$   y  $a_2= a_3$ se cumple que $a_1= a_3$

De manera similar, llegamos que $b_1= b_3$.

Así conluimos que $z_1= z_3$.




Propiedades de la suma
Se define la suma de dos números complejos $z_1=a+bi $ y $ z_2=c+di $ como $$(a+bi ) + ( c+di ) =(a+c )+ (b+d)i $$
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes.

Propiedad de cierre o cerradura para la suma
          Para $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se tiene que $z_1+z_2\in \mathbb{C} $

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se cumple que $$ z_1+z_2 = z_2+z_1$$
Propiedad asociativa
Para cualesquiera $z_1,z_2,\,z_3 \in \mathbb{C} $ se cumple que $$\left ( z_1+z_2\right )+z_3 = z_1+ \left (z_2+z_3\right )$$
Sean $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$ y $z_3=a_3+b_3i$,


Desarrollamos el lado izquierdo, primero sustituímos
$ \left ( ( a_1+b_1i )+ (a_2+b_2i) \right ) \ +\ ( a_3+b_3i ) $

      Aplicamos la suma de complejos planteada entre paréntesis

$= \left ( (a_1+ a_2)+ (b_1+b_2)i \right ) + ( a_3+b_3i ) $

      Sumamos

$= \left ( (a_1+ a_2) +a_3 \right ) + \left ( (b_1+b_2) +b_3 \right ) i $

      Aplicamos la propiedad asociativa en la parte real y en la parte imaginaria
$= \left ( a_1+ (a_2 +a_3 ) \right ) + \left ( b_1+( b_2 +b_3) \right ) i $

Siguiendo el mismo proceso podemos demostrar que la última línea es igual a $ z_1+ \left (z_2+z_3\right )$.


Existencia del elemento neutro para la suma
$0+0i$, abreviado por $0$, es el elemento neutro para la suma.
Esta propiedad se refiere a que para cualquier $z \in \mathbb{C} $ se cumple $$z+0=z$$ Efectivamente, si $z=a+bi$, se tiene que \begin{array}{ll} z+0 &=& (a+bi)+(0+0i) \\ &=& (a+0)+(b+0)i \\ &=&a+bi \\ &=&z \end{array}


Existencia del inverso aditivo u opuesto
Todo número complejo $z$ tiene un único inverso aditivo, denotado por $-z$.
Esta propiedad se refiere a la existencia, para cada número real $z$, de un único número complejo $-z$, tal que $z+(-z)=0$

El opuesto de $z=a+bi$ es el número complejo $-a-bi$ Efectivamente, si $z=a+bi$, se tiene que \begin{array}{ll} z+(-z) &=& (a+bi)+(-a-bi) \\ &=& (a+(-a))+(b+(-b))i \\ &=&0+0i \\ &=&0 \end{array} y es único, si $\tilde{ z}=c+di$ es un opuesto de z, se tiene $$(a+bi)+(c+di)=0+0i$$ Esto es $$(a+c)+(b+d)i=0+0i$$ Pero sabemos que dos números complejos son iguales si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. De aquí, $a+c=0$ y $b+d=0$. Ahora estamos en los números reales, de aquí $c=-a$   y   $d=-b$. Es decir, hay un único inverso dado por $-a-bi$






Propiedades de la multiplicación
Se define el producto de dos números complejos $z_1=a+bi $   y   $ z_2=c+di $ como $$(a+bi ) \cdot ( c+di ) =(ab-bd )+ (ad+bc)i $$
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.

Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
          Para $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se tiene que $z_1 \cdot z_2\in \mathbb{C} $

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se cumple que $$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$$
Propiedad asociativa
Para cualesquiera $z_1,z_2,\,z_3\in \mathbb{C} $ se cumple que $$\left ( z_1 \cdot z_2\right ) \cdot z_3 = z_1 \cdot \left (z_2 \cdot z_3\right )$$
Existencia del elemento neutro para la multiplicación
$1+0i$, abreviado por $1$, es el elemento neutro para la multiplicación.

Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo $z$, dintinto de $0$, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por $z^{-1}$.   Leer más



Propiedad distributiva
Para cualesquiera $z_1,z_2,\,z_3\in \mathbb{C} $ se cumple que $$ z_1 \cdot \left (z_2 + z_3\right ) \ = \ z_1 \cdot z_2+ z_1 \cdot z_3 $$ Haz clic para ver la demostración
Asuma $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$   y   $z_3=a_3+b_3i$.

Desarrollamos el lado izquierdo, primero sustituímos
$ ( a_1+b_1i ) \cdot \left ( (a_2+b_2i)\ +\ ( a_3+b_3i ) \right ) $
      Aplicamos la suma de complejos planteada
$= ( a_1+b_1i ) \cdot \left ( (a_2+ a_3)+ (b_2+b_3)i \right )$
      Efectuamos la multiplicación $ (( a_1 (a_2+ a_3)-b_1 (b_2+b_3) ) + \left ( b_1 (a_2+ a_3)+a_1 (b_2+b_3) \right )i$
      Aplicamos la propiedad distributiva dos veces en la parte real y en la parte imaginaria
$= \left ( a_1a_2 + a_1a_3 -b_1b_2 -b_1b_3 \right ) + \left ( b_1a_2 +b_1a_3 +a_1b_2 +a_1b_3 \right )i $


Desarrollaremos el lado derecho y verificaremos que es igual a la última línea
$ z_1 \cdot z_2+ z_1 \cdot z_3 $

$= ( a_1+b_1i ) \cdot ( a_2+b_2i)+ ( a_1+b_1i ) \cdot ( a_3+b_3i)$

Se efectúa las multiplicaciones de complejos, luego las sumas de complejos planteada.

$= \left ( ( a_1a_2-b_1b_2 ) +(a_1b_2+a_2b_1)i \right ) + \left ( ( a_1a_3-b_1b_3 ) +(a_1b_3+a_3b_1)i \right ) $

$= \left ( ( a_1a_2-b_1b_2 ) +( a_1a_3-b_1b_3 ) \right ) + \left ( (a_1b_2+a_2b_1) +(a_1b_3+a_3b_1) \right )i $

En la parte real reordenamos los términos en $a_1$ primero, luego los de $b_1$. En la parte imaginaria los presentamos en orden inverso $= \left ( a_1a_2 + a_1a_3 -b_1b_2 -b_1b_3 \right ) + \left ( (a_2b_1 +a_3b_1 +a_1b_2 +a_1b_3 \right )i $

Obteniendo el desarrollo del lado izquierdo de la propiedad






Propiedades del conjugado
El conjugado de un número complejo $z=a+bi $, denotado por $\overline{z}$, se define como $\overline{z} =a-bi$

Es claro las siguientes
El conjugado de un número real es él mismo.

El conjugado de un número imaginario puro es el opuesto del número.


A continuación otras propiedades del conjugado

El conjugado del conjugado
Para $z\in \mathbb{C} $ se tiene que
$$ \overline{ \overline{ z } } =z $$
Sea $z=a+bi$.     Primero tomamos el conjugado interno

$ \overline{ \overline{ z } } = \overline{ \overline{ a+bi } } $

    $ = \overline{ { a-bi } } $

    $ = { { a+bi } } $

    $ =z$


La suma y resta con el conjugado
Para $z\in \mathbb{C} $ se tiene que
$$z +\overline{z} =2 Re (z) \qquad \text{ y } \qquad z-\overline{z} =2 Im(z) $$
El producto con el conjugado
Para cualesquiera $z\in \mathbb{C} $, $z=a+bi$, se tiene que $$ z \cdot \overline{z} =a^2+b^2$$
Asuma $z=a+bi$, entonces $\overline {z}=a-bi$ .
El producto por definición es \begin{array}{ll}( a+bi )( a-bi ) &= & (a^2-b(-b))+(a(-b)+ba)i \\ &= & (a^2+b^2)+0i \\ &= & (a^2+b^2) \end{array}


El conjugado de una suma y de un producto
Para cualesquiera $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se cumple que $$\overline { z_1 + z_2} = \overline { z_1 }+ \overline { z_2} $$ $$\overline { z_1 \cdot z_2} = \overline { z_1 } \cdot \overline { z_2} $$
Demostración de la propiedad del conjugado de un producto.
Sean $z_1=a_1+b_1i$   y  , $z_2=a_2+b_2i$
\begin{array}{ll} \overline { z_1z_2 } &= & \overline { ( a_1+b_1i )( a_2+b_2i )} \qquad { \color{Blue} {Se \; multiplica} } \\ &= & \overline { (a_1b_2-b_1b_2)+ (a_1b_2+a_2b_1)i } \qquad { \color{Blue} {Conjugado} } \\ &= & (a_1b_2-b_1b_2) - (a_1b_2+a_2b_1)i \end{array} Se intenta llevar al lado derecho, buscando los conjugados \begin{array}{ll} &= & (a_1b_2-(-b_1)(-b_2)) + (a_1(-b_2)+a_2(-b_1))i \\ &= & \overline { ( a_1-b_1i )( a_2-b_2i )} \\ &= & \overline { a_1-b_1i } \cdot \overline { a_2-b_2i } \\ &= & \overline { z_1 } \cdot \overline { z_2 } \\ \end{array}
La demostración para la suma sigue las mismas ideas.






Propiedades del módulo
El módulo o valor absoluto de un número complejo $z=a+bi$, denotado por $|z|$ , se define como $$|z| =\sqrt{a^2+b^2}$$

El módulo es la raíz cuadrada de $z\overline{z}$

El módulo del producto
Para cualesquiera $z_1,z_2\in \mathbb{C} $ se cumple que $$|z_1 \cdot z_2| = | z_1|\cdot | z_2| $$
Se parte del cuadrado del módulo del producto, es el producto del número por su conjugado. Entonces se aplica el módulo de un producto, se reordenan los factores, para obtener el producto de los cuadrados de los módulos. \begin{array}{ll} |z_1\cdot z_2|^2 &=& (z_1\cdot z_2) \left ( \overline{ z_1\cdot z_2 } \right )\\ &=& (z_1\cdot z_2) \left (\overline{ z_1}\cdot \overline{ z_2 }\right ) \\ &=& (z_1 \cdot \overline{ z_1} ) \cdot ( z_2\cdot \overline{ z_2 } )\\ &=& |z_1|^2 \cdot | z_2|^2 \end{array} Se tiene entonces que $$ |z_1\cdot z_2|^2 =|z_1|^2 \cdot | z_2|^2 $$ El resultado sigue al tomar raíz cuadrada a ambos miembros.



Módulo es positivo o cero
$|z|\geq 0$

Módulo cero
$ |z|=0$ si y sólo si $z=0$
$(\Rightarrow ) $
$z=0$ entonces $\sqrt{a^2+b^2}=0$, así que $a^2+b^2=0$. Se tiene una suma de números no negativos. Sólo puede ser cero si los términos son 0. Esto es $a^2=0$ y $b^2=0$. Así que $a=b=0$. Concluimos que $z=0+0i=0$


$(\Leftarrow )$ es evidente.


Módulo del conjugado
$$|\overline{z}|= |z|$$


Módulo de la parte real y de la parte imaginaria
$$|Re(z)|\leq |z| \qquad \text{ y } \qquad |Im(z)|\leq |z|$$
Como $a^2 \leq a^2+b^2$, la primera desigualdad sigue al tomar raíz cuadrada a ambos miembros de la desigualdad. La segunda desigualdad es similar


Desigualdad triángular
$|z_1+z_2|\leq |z_1 | + |z_2 | $
\begin{array}{ll} |z_1+z_2|^2 & = & (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2}) \\ & = & (z_1+z_2)(\overline{z_1}+ \overline{z_2}) \\ & = & |z_1|^2 +z_1\cdot \overline{z_2} + z_2\cdot \overline{z_1} +|z_2|^2 \\ & = & |z_1|^2 +z_1\cdot \overline{z_2} +\overline{{ z_1}\cdot \overline {z_2} }+|z_2|^2 \\ & = & |z_1|^2 +2 Re(z_1\cdot z_2) +|z_2|^2 \\ & \leq & |z_1|^2 +2 |z_1\cdot z_2| +|z_2|^2 \\ & \leq & |z_1|^2 +2 |z_1|\cdot |z_2| +|z_2|^2 \\ & \leq & \left ( |z_1|+|z_2| \right ) ^2 \\ \end{array} Así tenemos que $$|z_1+z_2|^2\leq \left ( |z_1|+|z_2| \right ) ^2 $$ Al tomar a ambos lados de la desiguldad raíz cuadrada obtenemos el resultado.



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