Contenido:
  • Regla de la potencia generalizada. Obtención de la fórmula
  • Ejemplos de calculo de la derivada aplicando la regla
  • Ejemplos más complicados de diferenciación



Respuestas
\begin{array} {ll} 1.5) \ \frac{56{x}^{7}-4}{2\,\sqrt{7{x}^{8}-4x}} \ & 1.6) \ \frac{3\left( 56{x}^{7}-4\right)\sqrt{7{x}^{8}-4x}}{2} \\ 1.7) \ \frac{5}{2{\left( 8-5x\right) }^{\frac{3}{2}}} \ & 1.8) \ \frac{15}{2{\left( 8-5x\right) }^{\frac{5}{2}}} \\ \end{array}

Regla de la potencia generalizada
Derivada de la potencia de una función


La función $H(x)=(3-x)^4$ puede ser vista como la composición de dos funciones: $ f(x)= x^4$ y $g(x)=3-x.$ Puedes verificar que $H(x)=f(g(x))$. Observa que en este caso, la función externa, $f$, es una potencia. Este tipo de función pertenece a la familia de funciones escrita de manera general como $$\left( g\left( x \right) \right)^n $$ abarcan funciones con radicales y funciones racionales con numerador igual a 1.
Podemos derivarlas usando la regla de la cadena. Pero, como potencias de funciones son un tipo frecuente, se prefiere establecer una fórmula general para derivarlas, permitiendo identificarlas con facilidad y obtener la derivada claramente.
REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA
(Regla general de las potencias)

La regla de la cadena la podemos combinar con la regla de la potencia dando origen a la regla de la potencia generalizada. $$ {\left( \left( g\left( x \right) \right)^n \right)}'=n\left( {g}'\left( x \right) \right)^{n-1}g(x) $$

ANIMACIÓN
EJEMPLOS SENCILLOS DE CÓMO DERIVAR USANDO LA REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA


En la animación mostramos varios ejemplos de cómo aplicar la regla de la potencia generalizada para obtener la derivada.

Ejercicios para después del video
Use la regla de la cadena en su versión de potencia generalizada para obtener las derivadas indicadas \begin{array} {ll} 1.1)\ {\left (\left ( x^4+3x^2-3x \right ) ^{3} \right )}' & 1.2) \ {\left (\left ( 2x^3-2x \right ) ^{-2} \right )}' \\ 1.3)\ {\left (\left (\frac{1 }{x^2-3x+2 } \right ) ^{3} \right )}' \; & 1. 4) \ {\left (\frac{1 }{ \left ( x^2-3x+2\right ) ^{3} } \right )}' \\ 1.5) \ \ {\left (\sqrt{ 7x^8-4x } \right )}' \ & 1. 6) \ {\left (\sqrt{ \left ( 7x^8-4x \right ) ^{3} } \right )}' \\ 1.7) \ {\left (\frac{1 }{ \sqrt{ 8-5x }} \right )}' \ & 1.8) \ {\left (\frac{1 }{ \sqrt{ \left ( 8-5x\right )^3 }} \right )}' \\ \end{array}
Respuestas
$ 1.1)\ 3\left( 4{x}^{3}+6x-3\right) \,{\left( {x}^{4}+3{x}^{2}-3x\right) }^{2} \\ 1.2) \ 2\left( 6{x}^{2}-2\right) \left( 2{x}^{3}-2x\right) \quad 1.3)\ -\frac{3\left( 2x-3\right) }{{\left( {x}^{2}-3x+2\right) }^{4}} \quad 1.4) \ -\frac{3\left( 2x-3\right) }{{\left( {x}^{2}-3x+2\right) }^{4}} $
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ANIMACIÓN
EJEMPLOS MÁS COMPLICADOS


En la animación mostramos un ejemplo donde la derivada interna es un poco más complicada. Conviene en ejemplos más dicíficiles hacer el planteamiento de la derivada, dejando algunas derivadas indicadas para en la siguiente igualdad analizarlas y proceder a derivarlas.

Ejercicios para después del video
Derivar las siguientes funciones $ 2.1)\ f(x)= \left ( \left ( x^4+3 \right )\sqrt{x+1} \right )^3; \qquad 2.2) \ g(x)=\sqrt{2+\sqrt{x}} $
Respuestas
$2.1) \ {f}´(x)= \frac{3\sqrt{x+1}{\left( {x}^{4}+3\right) }^{3}}{2}+12\,{x}^{3}\,{\left( x+1\right) }^{\frac{3}{2}}\,{\left( {x}^{4}+3\right) }^{2}; $
$2.2) \ { g }´(x)= \frac{1}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{\sqrt{x}+2}}$
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ANIMACIÓN
EJEMPLO EN QUE ESTÁ ENVUELTA LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN


Cuando quieras derivar una expresión considera primero reescribir la expresión, luego analiza la expresión, si es una suma, producto, cociente, potencia, etc. Entonces, aplica la regla, dejando en un principio las derivadas indicadas, en las siguientes igualdades, vuelve analizar las expresiones a derivar para entonces usar la regla correspondiente.

Ejercicios para después del video
Encontrar la función derivada de cada una de las funciones dadas. Simplificar.
$ 3.1)\ f(x)= x^3\sqrt[5]{\left ( 1+2x \right )^2 } ; \\ 3.2) \ g (x)=\left ( 1+3x \right )^2 \sqrt{x+2} $
Respuestas
$3.1)\ {f}´(x)= \frac{34{x}^{3}+15{x}^{2}}{5{\left( 2x+1\right) }^{\frac{3}{5}}} ; \\ 3.2) \ {g}´ (x)=\frac{45\,{x}^{2}+90\,x+25}{2\,\sqrt{x+2}} $
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ANIMACIÓN
EJEMPLO EN QUE ESTÁ ENVUELTA LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN


Al considerar reescribir, podemos obtener la derivada usando varios procedimientos. Ten en mente los pasos que te llevarían uno y otro procedimiento, escoge el que te parezca más sencillo, teniendo presente las recomendaciones.

Recuerda luego de derivar, simplificar la expresión resultante.

Ejercicios para después del video
Hallar la derivada de las funciones dadas. Simplificar $ 4.1) \ g(x)= \frac{{\left( 2\,x+1\right) }^{2}}{3\,x-2} \quad 4.2) \ h(x)= \frac{\sqrt{x+1}}{{\left( 1-x\right) }^{2}} $

Respuestas
$ 4.1) \ {g}´(x)=\frac{\left( 2\,x+1\right) \,\left( 6\,x-11\right) }{{\left( 3\,x-2\right) }^{2}} \\ 4.2) \ {h}´(x)=-\frac{3\,x+5}{2\,{\left( x-1\right) }^{3}\,\sqrt{x+1}} $
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Ejemplo Funciones que pueden ser derivadas usando la regla de la potencia generalizada. $$ h(x)=\sqrt{3x-1}\qquad{\text y}\qquad y=\frac{1}{x^{2}+3} $$ pueden ser escritas como $$ h(x)=\left( 3x-1 \right)^{1/2} \qquad{\text y } \qquad y=\left( x^2+3 \right)^{-1} $$