Derivada de la función exponencial
Regla de la cadena para  la funcion exponencial compuesta,

funciones  del tipo número elevado a una funció
n
PRINCIPAL
Contenido:
  • Derivada de la función exponencial natural (con base e)
  • Regla de la cadena para la función exponencial compuesta con función
  • Derivada de funciones exponenciales con otra base
  • Ejemplos  más complicados
  • Reescribir antes de derivar, usando las propiedades de los exponentes
Ejemplos
1
2
Si y = 2ex entonces

En próximas secciones demostraremos que si

           

Como podrás observar la derivada de la función exponencial con base e es ella misma. Geométricamente esto quiere decir que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto
(x,f(x))
de la gráfica es la ordenada del punto.

Ejercicio para después del video.- Determinar si existe la función inversa de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x)=x 2 +1,     b) f(x)=2/x

Diferenciación de funciones exponenciales compuestas con función
(son funciones que se presentan con la forma un número elevada a función
Podemos obtener la derivada aplicando la regla de la cadena


En la animación se presenta ejemplos variados en que hay que diferenciar este tipo de funciones.











Si ahora queremos derivar una función exponencial con base distinta a e

            f(x)=a x,     a>0

podemos reescribir antes de derivar, para expresar la función en términos de la exponencial con base e. Para eso, usamos la definición del logaritmo

 

Así, obtenemos que

           
Date cuenta que si la base no es e, entonces aparece el factor logaritmo neperiano de la base.

También podemos aplicar la regla de la cadena para encontrar una fórmula para exponenciales de funciones con base a, mayor que 0

           

En los ejemplos de la animación podrás ver cómo encontrar la derivada de funciones que contienen la forma exponencial compuesta con base distinta a e.

No se te olvide multiplicar por el logaritmo natural de la base.

REESCRIBIR ANTES DE DERIVAR
Podemos usar las propiedades de los exponentes junto con otras propiedades de los números reales a fin de escribir de manera equivalente la función a derivar, para calcular la derivada de una forma más fácil.

Recuerda la notación de exponente racional, ésta permite escribir un radical como una potencia o una expresión racional.

Ten presente la propiedad de potencias de la misma base, al aplicarla conviertes un producto de expresiones exponenciales en una sola expresión exponencial.

En el caso de tener una fracción con denominador un monomio, piensa si se conviene pasarlo al numerador multiplicando con exponente cambiado de signo. En este caso estas reescribiendo un cociente como un producto.

En los ejemplos de la animación podrás ver cómo se aplican estos consejos