DESIGUALDADES CON UN VALOR ABSOLUTO
Resolución usando propiedades del valor absoluto


Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto


Ejemplos

| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7



Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de la interpretación geométrica del valor absoluto.


Proposición Para $c>0$ tenemos

1   $|expresi \acute{o} n| < c $ es equivalente a $ -c < expresi \acute{o} n < c $.

2   $|expresi \acute{o} n| > c $
es equivalente a   $expresi \acute{o} n<-c $  o   $ expresi \acute{o} n>c $

Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, $\le$ y $\ge$ .

Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia. Veamos algunos ejemplos.


Ejemplo Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto solución.

Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 1 de la proposición

Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a $$ -7 \leq 5 x -4 \leq 7 $$

Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3 Se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos desigualdades. Se resuelven de manera simultánea. Lo que se hace a un miembro se les hace a los otros dos miembros hasta aislar la $x$ en el miembro del medio. $$ \begin{array}{rcll} -7 &\leq & 5x-4 & \leq & 7 & \\ -7+4 & \leq & 5 x-4+4 & \leq & 7+4 & {\small { \color{BlueViolet} { Sumar \; 4 \; a \; cada \; miembro }} } \\ -3 & \leq & 5 x & \leq & 11 & \\ - \frac{3}{5} & \leq & \frac{ 5 x}{5} & \leq & \frac{11}{5} & {\small { \color{Blue} { Dividir \; entre \; 5 }} } \\ \end{array}$$ $$- \frac{3}{5} \leq x \leq \frac{11}{5} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$

Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es $\{x | - \frac{3}{5} \leq x \leq \frac{11}{5} \}$, es decir las $x$ en el intervalo $[ - \frac{3}{5} , \frac{11}{5} ]$. Su representación gráfica es



Ejemplo Resolver la desigualdad | 2x+1 | >3. Hacer la gráfica del conjunto solución.

Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 2 de la proposición: $|expresion |>c,$ con $c$ positivo.

Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a $$ 2x+1 < -3 \quad o \quad 2x+1>3 $$

Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3 Se tiene que resolver dos desigualdades $$ \begin{array}{rcll} 2x+1 < -3 & o & 2x+1>3 & { \scriptsize { \color{BlueViolet} { Restar \; 1 \; a \; cada \; miembro }} } \\ 2x+1 -1< -3-1 & o & 2x+1-1>3-1 & \\ 2x< -4 \quad &o& \quad 2x>2 & {\small { \color{Blue} { Dividir \; entre \; 2 }}} \\ \end{array}$$ $$x< -2 \quad o \quad x>2 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$

Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es $\{x | x < -2 \quad o \quad x > 2 \}$. Expresamos el conjunto en la notación de intervalos usando el símbolo $ \cup$. $$ ( -\infty,-2) \cup (2, \infty) $$ Su representación gráfica es
       



Verdadero o Falso
La desigualdad $|x-2|>-5$ es equivalente a $$ x-2<-(-5) \quad o \quad x-2>-5$$
Falso.
  No se puede aplicar la proposición, pues $c=-5$ es un número negativo.
La desigualdad se resuelve por lógica.

Un valor absoluto siempre es un número no negativo, entonces siempre es mayor a $-5$, un número negativo. Por tanto el conjunto solución es R.


Observación
Así como se resolvió una desigualdad con el valor absoluto de un lado y un número negativo en el otro lado, desigualdades como $|x-3|>0$, con el 0 en un lado de la desigualdad, pueden ser resueltas usando el hecho que un valor absoluto es siempre mayor o igual a cero y es cero si y sólo si el argumento del valor absoluto es cero.
Así, en el caso de la desigualdad $|x-3|>0$ se quiere determinar todos los $x$ para los cuáles el valor absoluto es positivo: al conjunto de todos los números reales hay que quitarle los puntos que hacen el argumento del valor absoluto igual a 0. Hay que quitarle un sólo valor: 3. En definitiva, el conjunto solución de la desigualdad planteada es $R-\{3\}. $




Verdadero o Falso

La desigualdad $3+|x+1|<5$ es equivalente a $-5<3+x+1<5$
Falso.
No se puede aplicar de una vez la proposición de equivalencia.

Primero hay que despejar el valor absoluto. Se resta 3 a ambos lados de la desigualdad $$|x+1|<2$$ Ahora si se puede aplicar la proposición, tiene la forma 1, con $c=2, $ positivo. La desigualdad es equivalente a -2< x+1<2 Puede confirmar que las soluciones de la desigualdad con valor absoluto son todos los números en el intervalo $(-3,1)$



Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones. Exprese, en caso de ser posible, el conjunto solución usando la notación de intervalos y construya la gráfica. $$ \begin{array}{rcl} &{\bf 1.1)}&\quad \left|x+3 \right|> 4 \quad \qquad\qquad \qquad\qquad &{\bf 1.2)}&\quad \left|2x+1 \right| <3 \\ &{\bf 1.3)}&\quad \frac15-2\left| x+1 \right| \leq 0 \qquad\qquad &{\bf 1.4)}&\quad \left| \frac{2-x}4 \right| -1 \geq 0 \\ &{\bf 1.5)}&\quad \left| 3-x \right| > -2 \qquad\qquad &{\bf 1.6)}&\quad \left| x-4 \right| +3 \leq 0 \\ &{\bf 1.7)}&\quad -\frac14\left| 3-2x \right| +3 \geq 1 \qquad\qquad &{\bf 1.8)}&\quad \left| \frac{x}4-5 \right| \leq 0 \\ \end{array} $$ Respuestas

          
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