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       Métodos para resolver ecuaciones con
              dos o más valores absolutos
De acuerdo a las características de la ecuación se pueden aplicar determinadas propiedades del valor absoluto o la propia definición para encontrar el conjunto solución resolviendo ecuaciones sin valor absoluto. Al resolver ecuaciones variadas hay que tener presente el método de factorización, también hay ecuaciones con valor absoluto en que es apropiado aplicarlo.



Resolviendo usando las propiedades del valor absoluto


A continuación enunciamos algunas propiedades que permiten deshacernos del valor absoluto en determinadas ecuaciones.

Para ecuaciones con un solo valor absoluto resulta muy útil la siguiente proposición.

Proposición 1     Para $c>0$ tenemos

    $|expresi \acute{o} n| = c $  
es equivalente a  
$$ expresi \acute{o} n =- c \quad o \quad expresi \acute{o} n = c $$
Ver detalles y ejemplos

En lo que sigue nos dedicaremos a ecuaciones con dos o más valores absolutos.

Para ecuaciones en que un valor absoluto de una expresión es igual a un valor absoluto de otra expresión se puede considerar aplicar una de las siguientes dos proposiciones.
Proposición 2

  $|expresi \acute{o} n1| =|expresi \acute{o} n2| $
es equivalente a
$$ expresi \acute{o} n1 =-(expresi \acute{o} n2) \quad o \quad expresi \acute{o} n1 = expresi \acute{o} n2 $$


Proposición 3

  $|expresi \acute{o} n1| =|expresi \acute{o} n2| $
si y sólo si
$$ \left( expresi \acute{o} n1\right)^2 = \left( expresi \acute{o} n2 \right)^2 $$




Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la ecuación $ |3x+1|=|5x+7|$.
Solución
Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Ver si es posible aplicar alguna proposición.
Paso 1
Se tiene la forma $|expresi \acute{o} n1| =|expresi \acute{o} n2| $ en que es posible aplicar la proposición 2 o la 3.

Aplicar la proposición.
Paso 2 Aplicamos la proposición 2

La ecuación es equivalente a $$ 3x+1=-(5x+7) \quad \text{ o } \quad 3x+1=-(5x+7) $$
Resolver las ecuaciones sin valor absoluto planteadas.
Paso 3 Resolvemos cada ecuación $$ \begin{array}{rcll} 3x+1=-(5x+7) & \; o \; & 3x+1=5x+7 \\ 3x+1=-5x-7 & \; o \; & -6=2x \\ x=-1 & \; o \; & x=-3 \end{array}$$

Establecer el conjunto solución.
Paso 4 El conjunto solución es $\{ -1,-3 \}$.


Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la ecuación $ |3x+1|=|5x+7|$ usando la proposición 3.
Solución
Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Verificar si es posible aplicar la proposición 3.
Paso 1
Se tiene la forma $|expresi \acute{o} n1| =|expresi \acute{o} n2| $ en que es posible aplicar la proposición.

Aplicar la proposición 3.
Paso 2 $ |3x+1 |= |5x+7| \; \Leftrightarrow $ $$ \left( 3x+1 \right) ^2= \left( 5x+7\right)^2 $$
Resolver la ecuación resultante.
Paso 3 Resolvemos la ecuación, es cuadrática. La llevamos a la forma general, $ax^2+bx+c=0$, desarrollando los cuadrados $$ \begin{array} {rcl} 9x^2+6x+1&=& 25x^2+70x+49 \\ 16x^2 +64x+48 & = & 0 \\ x^2+4x+3 & = &0 \\ \end{array}$$ Al resolver esta última, bien usando la fórmula cuadrática, bien por factorización, encontramos que las soluciones son $x=-3$ y $x=-1$.

Establecer el conjunto solución.
Paso 4 El conjunto solución es $\{ -1,-3 \}$.



Otras propiedades del valor absoluto deben ser tomadas en cuenta al resolver estas ecuaciones. Recordamos algunas que pueden ser de utilidad
Proposición 4
a  $|a| =0 \; \Leftrightarrow \; a=0$
b  $|a| \geq 0 $
c  $|a\cdot b| =|a| |b| $
d  $|\frac ab| =\frac{|a|}{ |b|} $, $\quad b\neq 0$
e  $|a^n| =|a|^n $
f  $|a|^2=a^2 $
La propiedad a se aplica para resolver ecuaciones en que en un lado está el valor absoluto y en el otro miembro el 0, como la ecuación $|2x+4|=0$. Su solución se encuentra al plantear y resolver la ecuación $2x+4=0$. (CS$=\{-2\})$.
La propiedad b siempre hay que tenerla presenta al resolver ecuación. Ella dice que un valor absoluto nunca es negativo. Así que analizando podemos concluir acerca del conjunto solución de ecuaciones como $|x+3|=-5\quad$ o $\quad |x+1|+ |x+4|=-3$. Es claro que tienen como conjunto solución el vacio. Observemos la segunda ecuación, $|x+1|+ |x+4|=-3$, en el lado izquierdo tenemos la suma de dos cantidades no negativas, su suma evidentemente es no negativa, no hay ningún $x$ en que la suma sea igual a $-3$.

Ejercicio Explica brevemente por qué la ecuación $|x-1|+ |x-3|=0$ no tiene solución. En tu análisis usa el argumento que un valor absoluto es siempre mayor o igual a cero.

Veamos ejemplos de cómo las otras propiedades ayudan a resolver ecuaciones con valor absoluto.

Ejemplo Para resolver la ecuación $ |x+2|=2|3x+5|$ no se puede usar la propiedad 2 o la 3 de manera inmediata. Pero podemos transformar la ecuación usando el hecho que $2=|2| $. La ecuación queda $ |x+2|=|2|\cdot |3x+5|$, aplicando la propiedad del producto de valores absolutos obtenemos $ |x+2|=|2\cdot (3x+5)|$, en que ya es posible aplicar la propiedad 2 o la propiedad 3 para resolverla.

Ejemplo En la ecuación $ |(2x+1)^2|=|(x+4)^2|$ se puede usar la propiedad 2 o la propiedad 3 de una vez. Pero podemos transformarla para ahorrarnos trabajo al usar que $$|a^2|=|a|^2=a^2$$ Quedando entonces por resolver una sola ecuación cuadrática $$ (2x+1)^2=(x+4)^2$$.

Ejemplo La ecuación $ |x+2|+|2x+4|=6$ puede ser reducida a una ecuación con un solo valor absoluto, sacando 2 de factor común en el segundo término,
$ |x+2|+|2(x+2)|=6 \quad$ aplicando la propiedad del valor absoluto de un producto.
$ |x+2|+|2||x+2|=6 \quad$ Sumar términos en $|x+2|$.
$ 3|x+2|=6 \quad$ Para usar la primera proposición, despejamos $|x+2|$.
$ |x+2||=2 \quad$
Al aplicar la proposición 1 obtenemos que CS$=\{-4,0\}$.




Resolviendo aplicando la definición
Método de las regiones

Ecuaciones más generales que las vistas, en que no es posible aplicar alguna propiedad, pueden ser resueltas aplicando la definición del valor absoluto. Para eso se necesitará dividir la recta en regiones, tales que las expresiones dentro de las barras conservarán el signo a lo largo de cada región. Dichas regiones son intervalos delimitados por las raíces de las expresiones entre las barras del valor absoluto. Se buscará entonces la solución de la ecuación en cada región.
El conjunto solución de la ecuación con valor absoluto es la unión de los conjuntos soluciones en los intervalos.

En el desarrollo del siguiente ejemplo explicaremos algunos detalles de este método conocido como el método de regiones, zonas o seccionamiento, indicando con el nombre, parte del procedimiento.

Ejemplo Resolver la ecuación $ |x-2|+2|x+1|=4$.
Solución
Haz clic para ver el desarrollo del paso.
Marcar en la recta real los números que hagan cero alguna de las expresiones entre las barras del valor absoluto.
Paso 1
Planteamos la ecuación $x-2=0$ y la resolvemos, $x=2$.
Planteamos la ecuación $x+1=0$ y la resolvemos, $x=-1$.
Ubicamos los puntos en la recta real.
       
La recta quedó dividida en tres regiones $\left(-\infty,-1 \right]$, $\left(-1,2 \right]$ y $\left(2,\infty \right)$,

Determinar los signos de las expresiones entres las barras en cada intervalo.
Paso 2
Veamos cuando $x-2$ es positiva o cero, esto es $x-2\geq 0$.
Resolvemos la desigualdad
$$x-2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 2 $$
$x-2$ es positiva o cero en el intervalo $\left[ 2,\infty \right)$ y es negativa en el complemento.

Veamos cuando $x+1$ es positiva o cero, esto es $x+1\geq 0$.
Resolvemos la desigualdad
$$x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1 $$
$x+1$ es positiva o cero en el intervalo $\left[ -1,\infty \right)$ y es negativa en el complemento.

Anotamos estas informaciones en la recta real.
 
En cada intervalo, transformar la ecuación en otra equivalente sin valores absolutos, aplicando la definición del valor absoluto.
Paso 3 Tomando en cuenta que el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo, podemos aplicar la definición de valor absoluto a la ecuación en cada intervalo para quitar el valor absoluto.
En los intervalos en que $x+1$ es negativo, se tiene que $|x+1|=-(x+1)$
En los intervalos en que $x+1$ es positivo, se sustituirá $|x+1|$ por $x+1$
De manera similar consideramos $|x-2|$.
Al hacer las sustituciones en $ |x-2|+2|x+1|=4$. obtenemos  
Resolver cada ecuación y eliminar las soluciones que no estén en el intervalo respectivo.
 

Establecer el conjunto solución.
Paso 5 El conjunto solución es la unión de las soluciones en los intervalos.
En este caso el conjunto solución de la ecuación dada es $\{ -\frac {4}{3},0 \}$.






Resolución aplicando factorización

Cuando se está resolviendo cualquier tipo de ecuación es bueno tener presente el método de factorización como uno de los primeros pasos para resolver ecuaciones, muchas veces se logra reducir la complejidad al resolver ecuaciones más sencillas. En el caso de ecuaciones con valores absolutos se tantea factorizar en $|expresi\acute{o}n|$ el lado que no es cero, para luego aplicar la propiedad multiplicativa del cero.
El siguiente ejemplo se puede resolver aplicando de una vez la definición del valor absoluto, dividiendo la recta real, pero resulta más sencillo si se factoriza el lado que no es cero.

Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la ecuación $ |x+1|^2-3|x+1|-4=0$
Solución
Haz clic para ver el desarrollo de cada paso.
Intentar factorizar el lado que no es cero en $|x+1|$
Paso 1
Se factoriza usando el producto de binomios con un término en común: $(y+a)(y+b)=y^2+(a+b)y+ab$ $$\left( |x+1|-4\right) \cdot \left( |x+1|+1 \right) =0$$

Igualar cada factor a cero
Paso 2 $ \; |x+1|-4 =0\quad$ o $\quad |x+1|+1=0$
Resolver las ecuaciones resultantes.
Paso 3
Primer factor = 0
$ |x+1|-4=0$ La resolvemos aplicando la proposición 1. Primero tenemos que llevarla a la forma un valor absoluto igual a constante. Dejamos aislado el valor absoluto $$|x+1|=4 $$ Ya podemos aplicar la propiedad 1, planteamos las dos ecuaciones sin valor absoluto y las resolvemos $$ \begin{array}{1cl} x+1=-4 & o & x+1=4 \\ x=-5& o & x=3 \\ \end{array}$$
Segundo factor = 0
$ |x+1|+1=0$ no tiene solución. Observe que la ecuación es equivalente a $|x+1|=-1$, un valor absoluto no puede ser igual a un número negativo.

Establecer el conjunto solución. Es la unión de las soluciones parciales.
Paso 4 El conjunto solución es $\{ -5,3 \}$.



Leer sobre ecuaciones con un valor absoluto dentro de otro valor absoluto




Ejercicios

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. $$ \begin{array}{lll} &{\bf 1)}& \left| x+1 \right| = \left|3 x-1 \right| \quad &{\bf 2)}& \left| \frac{x}{5}-1 \right| = \left| \frac{x}{10}-2 \right| \\ &{\bf 3)}& \left| x \right|+ \left| x+1 \right| =2 \quad &{\bf 4)}& \left| x+1 \right| - \left| 2x-1 \right| =3\\ &{\bf 5)}& \left| 2x-1 \right| - \left| x+1 \right| =3 \quad &{\bf 6)}& \left| x+1 \right| - \left| x \right| + \left| x-2 \right| =0 \\ &{\bf 7)}&\left| x-2 \right|^2 -5 \left| x-2 \right| +6=0 \quad &{\bf 8)}& \left| x+3 \right| + \left| x+2 \right|=-3 \\ &{\bf 9)}& \left| x-2 \right| - \left| x +2 \right| = \left| x \right| \quad &{\bf 10)}& \left| x^2+3x \right| = \left| x+3 \right| \\ \end{array} $$
Haz clic para ver las respuestas.
$$ \begin{array}{llllll} &1)& \{ 0,1 \} \; &2)& \{ -10,10 \} \; &3)& \{ -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \}\; &4)& \varnothing \\ &5)& \{ -1,5 \} \; &6)& \varnothing \; &7)& \{ -1,0,4,5 \} \\ &8)& \varnothing \; &9)& \{ 0,-4 \} \; &10)& \{ -3,-1,1 \} \; \end{array}$$


       
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