Derivada por definición
Encontrar la derivada por medio del límite del cociente
incremental
.
DEFINICIÓN
La derivada de una función en un número c se la denota por f ´(c)  y se la
define como


siempre y cuando el límite exista.
PRINCIPAL
PRINCIPAL
Contenido:
  • Definiciones. La derivada en un número. La función derivada.
  • Formas equivalentes  de la derivada
  • Ejemplo de cómo encontrar la derivada en un punto
  • Ejemplos de cómo encontrar la derivada de funciones racionales y con radicales
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CÁCULO DE LA DERIVADA DE  UNA FUNCIÓN RACIONAL DE
GRADO 1
En el documento se muestra cómo determinar la función derivada
de una función tipo polinomio de primer grado sobre polinomio de
primer grado, dando  sugerencias, justificando los pasos y
mostrando errores frecuentes en los estudiantes.
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DETERMINAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON RADICALES
USANDO LA DEFINICIÓN

La derivada de la función del ejemplo lleva al planteamiento de un
límite con forma indeterminada 0/0. Para resolver la indeterminación
se usa la conjugada del binomio con radicales.  Se enfatiza que
para aplicar la recomendación se tiene que tener un binomio, dos
términos, uno de los cuáles tiene al menos una raíz cuadrada.
OTRAS FORMAS DEL LÍMITE DE LA DERIVADA
Es frecuente sustituir h por D.
Así tenemos que el límite en la definición de la derivada en c puede
ser escrito como



Si tomamos en cuenta que
c+h tiende a c cuando h tiende a 0, el
límite de arriba puede ser escrito como



Esta forma de definir la derivada muestra claramente que la derivada
es
el límite de un cociente de diferencias. Sin embargo, la primera
forma permite calcular las derivadas de manera más sencilla
Límites como
se usan para definir la pendiente de la recta tangente a una curva y=f(x) cuando x=c o la velocidad de un móvi que
sigue una trayectoria definida por
y=f(t) cuando t=c u otras razones de cambio. Debido a la frecuencia con que
aparece este tipo de límites, se lo define de manera independiente para hacer su estudio general y aplicar los
resultados obtenidos.
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Ejemplo de cómo calcular la derivada de una función en un
punto c usando la definición.
Al plantear el límite del cociente de diferencias encontraremos formas
indeterminadas 0/0 para  la mayoría de la funciones que se nos
presentan.  En el documento tenemos una función cuadrática,
entonces se busca escribir el cociente de diferencias de forma
equivalente de tal manera que se pueda cancelar un factor
h del
numerador con otro del denominador, a fin de eliminar la
indeterminación.
FUNCIÓN DERIVADA
Se define la función derivada de f a la función f ´ con dominio el
subconjunto de las
x  del dominio de f para los cuales f ´(x) existe y
que a cada número
x de su dominio le asigna su derivada, f ´(x).

Para abreviar, la función derivada de
f se la llama sencillamente la
derivada de
f.
Si el límite no existe, entonces se dice que la función no es derivable o
diferenciable en
c. También decimos que la derivada no está definida en c.

El símbolo
f ´(c) se lee  efe  prima de c




La derivada de f en c

El proceso en que se consigue la derivada de una función se
llama
derivación o diferenciacion.