Asíntotas verticales de funciones logarítmicas
y con logaritmos



Asíntotas verticales de funciones logarítmicas
De la gráfica de la función logarítmica $y=\log_b(x)$, con base $b>1$, vemos que la gráfica se acerca cada vez más al eje $y$ conforme $x$ se aproxima más a 0 por la derecha. Se aproxima al eje $y$, puesto que los valores de la función se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos. Esto lo escribimos formalmente como $$ \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\log_b(x)}=-\infty$$ Decimos que el eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Normalmente, escribimos la ecuación de esta recta vertical: $x=0$.
Determinamos la asíntota de las funciones logarítmicas, con base $b>1$ por medio de su gráfico, como la de logaritmos neperianos o decimal.


La asíntota de cualquier función logarítmica con base entre 0 y 1 también la podemos visualizar en el gráfico. En este caso, el comportamiento es distinto, pues la función se acerca al eje $y$ con valores positivos. $$ \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\log_b(x)}=+\infty$$



Si se quiere conseguir las asíntotas verticales, $x=c$, de funciones que contienen logaritmos podemos, según el caso, proceder de dos maneras. Si se tiene el gráfico de la función, por inspección, viendo el gráfico, se determina la asíntota.
En caso que no se tenga el gráfico, se recurre al método analítico, primero se determinan los candidatos a asíntotas verticales. Si se tienen logaritmos, hay que determinar los valores $c$ que anulan el argumento de algún logaritmo. Luego, se verifica si los límites laterales, que tengan sentido, son o no infinitos. 3 Detalles.


Recuerde que para funciones de la forma $y=c\cdot log_b(ax+h)+k $ es fácil determinar el gráfico a partir del gráfico de $y=\log_b(x)$, por transformaciones de éste. Entonces, para este tipo de funciones podemos encontrar la asíntota vertical viendo su gráfico. Mostramos un ejemplo. Un paso importante en la obtención del gráfico y por ende de la asíntota, es que cuando se tenga que hacer una traslación horizontal del gráfico, se desplace la asíntota tantas unidades como el gráfico.

Ejemplo Graficar la función $\ f(x)=\ln(x+3)+2$. A partir del gráfico determinar la asíntota vertical.
Solución
Primero obtenemos la representación gráfica de $f$ a partir de la de $y=\ln(x)$, por operaciones geométricas.
Primero, la gráfica se traslada hacia la izquierda 3 unidades y luego la desplazamos hacia arriba 2 unidades.
Recuerda, la asíntota es una recta. Normalmente, escribimos la ecuación de la recta vertical.
Viendo la gráfica podemos concluir acerca de la asíntota, $x=-3$ es la asíntota vertical de la función.







No toda función con logaritmos se le puede graficar tan fácilmente, incluso se puede requerir el cálculo de las asíntotas para determinar la gráfica. En lo que sigue se hallarán las asíntotas de funciones con logaritmos analíticamente, esto es, a través del planteamiento y resolución de límites adecuados.


Recuerde, que para determinar las asíntotas verticales de una función debemos
1) Proponer las rectas, $x=c$, que pueden ser asíntotas verticales.
2) Verificar, para cada candidato, que al menos uno de los dos límites laterales en $c$ es infinito. Si se tiene al menos un límite infinito entonces se concluye que $x=c$ es una asíntota vertical de la función, en caso contrario, en $c$ la función no tiene asíntota vertical.

¿Quiénes son los candidatos?
Cuando una función tiene logaritmos y otras expresiones algebraicas, los candidatos para $c$ son los valores $x$ que hacen cero algún argumento, y, claro, los que hagan cero algún denominador.,


Empecemos cómo hubiésemos procedido con la función del ejemplo anterior.




Ejemplo
Encontrar las asíntotas verticales de la función $f(x)=\ln(x+3)+2$ de manera analítica.
Solución
Encontrar los candidatos.
Por el logaritmo. Plantear y resolver la ecuación ARGUMETO DEL LOGARITMO $=0$ $$x+3=0$$ Es una ecuación lineal, se despeja la variable $$x=-3$$ Observación En esta última línea, se entiende que $x=-3$ es la solución de la ecuación $x+3=0$. Ahora, leeremos $x=-3$ de otra manera: como la ecuación de una recta vertical.

En definitiva, la recta $x=-3$ es el único candidato a asíntota vertical de la función dada.

Verificar si cada candidato es asíntota vertical
\begin{array}{cl} \displaystyle\lim_{x \to{-3^+}}{ \left (\ln(x+3)+2 \right ) } &= \displaystyle\lim_{x \to{-3^+}}{ \ln(x+3) }+ \displaystyle\lim_{x \to{-3^+}}{ 2 } \\ &=-\infty \end{array} Como el límite es infinito, concluimos:
    La recta $x=-3$ es una asíntota vertical de la función.





Importancia de conocer el dominio de la función
En el ejemplo anterior tomamos límite sólo por la derecha, pues conocíamos que la función estaba definida sólo a la derecha de $-3$.
Es importante conocer el dominio de la función para determinar que límites laterales se deben plantear.
Incluso sirve para descartar candidatos.
En $f(x)=\ln x+ \sqrt{ x-1 }$, se tiene que $x=0$ es una recta a considerar como asíntota, pero se descarta inmediatamente ya que el dominio de la función es el intervalo $(1,\infty)$ . La función no está definida en un intervalo abierto conteniendo a $0$.



Es imposible que la gráfica se acerque tanto como se quiera al eje $y$ pues en la zona amarilla no se tiene gráfica.








Veamos más ejemplos


Ejemplo
Determinar las asíntotas verticales de la función $ f(x)=\frac{ \ln(x-2) }{x+1 } $ analíticamente.
Solución
Se tiene una función que es un cociente con logaritmo. Hay que considerar los valores que hagan 0 el denominador y los que anulen el argumento del logaritmo
Encontrar los candidatos a asíntotas verticales
Se debe plantear dos ecuaciones, una por el logaritmo y la otra por el denominador
Por el logaritmo
Se plantea     ARGUMENTO DEL LOGARITMO $ = 0$ $$x-2= 0$$ Se resuelve, es lineal, se despeja la variable $$x=2$$
En definitiva, $x=2$ es una candidato, a verificar, a asíntota vertical de la función.


Por el denominador Se plantea
                  DENOMINADOR $=0$ $$ x+1=0 $$ Se resuelve, es lineal, se despeja la variable $$x=-1$$ En definitiva, $x=-1$ hay que considerarlo como posible asíntota vertical. Hay que verificar.

Determinar el dominio de la función.
Sirve para establecer los límites laterales y para eventualmente descartar a algún candidato a asíntota.
Se considera los dos problemas que tiene la función a la hora de evaluar, el logaritmo y el denominador. $$\text{Dom }\left ( \ln(x-2) \right ) - \left \{ x \ | denominador=0 \right \} $$ $$ =(2,\infty)-\left \{ x \ | x+1=0 \right \} $$ $$ =(2,\infty)-\left \{ -1 \right \} =(2,\infty)$$

Se verifica si los candidatos son asíntotas verticales

Verificamos $x=2$
Se toma sólo límite por la derecha, pues la función sólo está definida en $(2,\infty)$ \begin{array}{cl} \displaystyle\lim_{x \to{2^+}}{ \left ( \frac{ \ln(x-2) }{x+1 } \right ) } &=^{-\infty/3} \\ &=-\infty \end{array} El límite es infinito, entonces $x=2$ es una asíntota vertical de la función.



Verificamos $x=-1$.
Lo descartamos de una vez, pues hay un intervalo que contiene a $-1$ cuyos puntos no están en el dominio de la función.





Respuesta

$x=2$ es la única asíntota vertical de la función.






Hemos dado ejemplos en que un candidato, $x=c$, a asíntota vertical no lo era, pues la función considerada no estaba definida en un intervalo abierto conteniendo a $c$.


Otra situación en que se descartar un candidato a asíntota vertical es cuando el límite no es infinito.

A veces hay que usar la regla de L`hôpital para determinar el límite.

Ejemplo
Encontrar las asíntotas verticales de $ f(x)=x\ln x $
Solución
Determinar los candidatos a asíntotas verticales.
Por el logaritmo, plantear
        Argumento del Logaritmo $=0$
$$x=0$$ Se tiene un único candidato

Determinar el dominio de $f$
Claramente, Dominio $f=(0,\infty)$.

Verificar.
Como el dominio de la función en el intervalo $(0,\infty)$, solo tiene sentido plantear el límite por la derecha. $$ \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}=?$$ El límite tiene una forma indeterminada del tipo $0\cdot \infty$ . Se puede resolver la indeterminación usando la regla de L`hôpital. Primero hay que llevarlo a la forma $\frac{ 0}{ 0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$. Movemos $x$ al denominador
$ \displaystyle\lim_{x \to{0^+}} { \frac{ \ln(x) }{x^{ -1} } }, $     Aplicamos L`hôpital
    $= \displaystyle\lim_{x \to{0^+}} { \frac{ \frac{1}{x} }{-x^{ -2} } }, $       Simplificamos
    $= \displaystyle\lim_{x \to{0^+}} { - x^{ 2} \cdot \frac{1}{x} } $
    $= \displaystyle\lim_{x \to{0^+}} { - x } =0$
El límite no es infinito. Por tanto, $x=0$ no es asíntota vertical de la función.

Concluir.

La función no tiene asíntotas verticales.





Considere en indeterminaciones en que está presente el logaritmo aplicar propiedades de los mismos para llevarlo a un límite que pueda trabajar. En el siguiente ejemplo se tiene una función con logaritmos neperianos, de base $e$.

Ejemplo
Hallar las asíntotas verticales de $ \ f(x)=\ln(x-2)-\ln(x^2-4) $
Solución
Se determinan los candidatos a asíntotas verticales.
Por el primer logaritmo, se plantea
          ARGUMENTO DEL LOGARITMO $=0$ $$x-2=0$$ Se resuelve, tenemos $x=2$ un candidato a asíntota vertical.
Por el segundo logaritmo, se plantea
          ARGUMENTO DEL LOGARITMO $=0$ $$ x^2-4=0$$ Se resuelve, la manera más rápida es despejando la potencia $$ x^2=4$$ Ahora recordamos las soluciones tomando raíz cuadrada a ambos lados, sabiendo que la raíz negativa también es solución $$x=\pm 2$$
Se tiene dos candidatos, uno repetido.
En definitiva, se tiene solo dos candidatos a verificar, $x=2$ y $x=-2$

Determinar el dominio de la función.
Tenemos que determinar el dominio de $\ln(x-2)$ y el dominio de $\ln(x^2-4)$, para luego interceptarlos . El del primero es $(2,\infty)$. El del segundo, luego de resolver la desigualdad polinómica $x^2-4>0$ encontramos que su dominio es $ (\infty,-2)\cup (2,\infty)$. Claramente el dominio de $f$, la parte común de estos dos conjuntos, es $(2,\infty)$.

Verificar si las rectas verticales propuestas en el paso 1 son asíntotas verticales de $f$.

$x=-2$ se descarta por no haber gráfica en un intervalo conteniendo a $x=-2$


Para $x=2$ sólo tiene sentido plantear el límite por la derecha, (ver el dominio.)
$ \displaystyle\lim_{x \to{2^+}} { \left ( \ln(x-2)-\ln(x^2-4) \right ) } $
Se tiene una indeterminación del tipo $-\infty+\infty$. Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto.
    $ =\displaystyle\lim_{x \to{2^+}} { \ln \left ( \frac{ x-2 }{ x^2-4 } \right ) }, $       Factorizamos
    $ = \displaystyle\lim_{x \to{2^+}} { \ln \left ( \frac{ x-2 }{ \left ( x-2 \right ) \left ( x+2 \right ) } \right ) } $       Simplificamos
    $ = \displaystyle\lim_{x \to{2^+}} { \ln \left ( \frac{ 1 }{ x+2 } \right ) } $       No hay indeterminación
    $ =\ln \frac{1}{4}$
Como el límite no es infinito, concluimos que $x=2$ no es una asíntota vertical de la función.

Concluir.

La función no tiene asíntotas verticales.


Preguntas frecuentes
1 ¿Existe alguna función con logaritmo que tenga una asíntota en que la función se acerca por el lado izquierdo?

Respuesta
Si, por ejemplo $y=\ln(2-x)$. El dominio de esta función es $(-\infty,2)$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{2^-}} { \ln \left (2-x \right ) }=-\infty$$



2 ¿Hay alguna función con un solo logaritmo que tenga dos asíntotas verticales?

Respuesta
Si, por ejemplo $y=\ln(x^2-4)$ tiene dos asíntotas verticales: $x=-2$ y $x=2$.
Verifique que:
      El dominio de esta función es $(-\infty,-2)\cup (2, \infty)$, $$\displaystyle\lim_{x \to{2^+}} { \ln \left (x^2-4 \right ) }=-\infty$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{-2^-}} { \ln \left (x^2-4 \right ) }=-\infty$$



3 ¿Existirá alguna función con un solo logaritmo con una asíntota tal que la función se acerca por los dos lados?

Respuesta
Si, por ejemplo $y=\ln|x|$. La recta $x=0$ es una asíntota por los dos lados, pues como el dominio de esta función es $(-\infty,0)\cup (0,\infty)$ , se tiene que $$\displaystyle\lim_{x \to{0^-}} { \ln |x| }=-\infty$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{0^+}} { \ln |x| }=-\infty$$




Ejercicios Calcular todas las asíntotas verticales para cada una de las siguientes funciones
\begin{array}{lll} a) \; f(x)=x\ln(x+2); &b) & g(x)=\frac{x-3}{x+1}+\ln(x+2); \\ c) \; h(x)=\sqrt{x^2-1}+\ln(-x); \; &d) & y= \frac{ \ln (x+1) } {x-3} ; \\ e) \; y=\frac{x-2}{\ln(x-2)}; & f) & f(x)= \frac{ \ln(x-1)} {1-x^2}; \end{array}

Respuestas
a) $x=-2$
b) $ x=-2$ y $x=-1$
c) No tiene asíntotas verticales
d) $ x=-1$ y $x=3$
e) $ x=3$ (donde el denominador se anula)
f) $ x=1$. ( La gráfica no está definida en un entorno de $-1$ )



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