División de  un segmento de recta en una razón dada
Animación
Punto P que divide un segmento en una razón dada
Sin fórmula
En la animación tienes un ejemplo que muestra  cómo
encontrar las coordenadas de un punto P que divide al
segmento AB en una  razón  r dada, sin usar una fómula, tan
solo valiendonos de resultados sobre triángulos semejantes.

Recuerda que

1) Si en dos triángulos  verificamos  que dos pares de ángulos
son congruentes entonces los triángulos son semejantes.
Es decir, si podemos comprobar que las medidas de dos
ángulos de un triángulo son iguales a dos de los ángulos  del
otro triángulo entonces los triángulos son semejantes. (No hace
falta verificar  la tercera correspondencia, ¿por qué?)

2) Si los triángulos son semejantes entonces las razones entre
los lados correspondientes son iguales.


Ejercicios para después de la animación
1)
 Obtenga las coordenadas del punto P que divide al
segmento cuyos extremos son   A(-2,-4) y B(1,4)  en la razón  
AP/PB=1/6.
2) Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento
AB en la razón AP/PB=2, donde A(1,2) y B(4,5). (Escriba la
razón r como 2/1)
3) Dados los puntos A(-5,-4) y B(-1,2), determine el punto P1  
que divide el segmento de recta AB en la razón AP
1/P1B=1/2,
encontrar el punto P
2 que divide ese mismo segmento en la
razón
AP2/P2B=2.

En el ejercicio 3) se está determinando
los puntos P1(x1,y1) y
P
2(x2,y2) que dividen el segmento AB en tres partes iguales.
Podemos ser más eficientes, al darnos cuenta que  el
segmento de A a (
x1,-1), tiene la misma longitud que el
segmento de (
x1,-1) a (x2,-1), dada por x1-(-5), donde -5 es la
coordenada
x del punto A.(De nuevo, puede ser demostrado
por semejanza de triángulos). Entonces  
 x2  lo determinamos
a partir de la coordenada
x1
x2=x1+(x1-(-5))
Igual consideración podemos hacer con las coordenadas y de
los puntos P
1 y P2.





4) Dados los puntos A(1,-5) y B(8,3), encontrar los puntos que
dividen el segmento de recta AB en cinco partes iguales.

Contenido
  • Punto que divide a un segmento de recta en una razón r dada, sin
    fórmula
  • Fórmula de las coordenadas del punto que divide a un segmento de
    recta en una razón r dada en términos de las coordenadas de los
    puntos extremos.
  • Ejercicios y respuestas
Podemos demostrar una fórmula general para el problema.
Ejercicios
5)
 Apóyese en la figura  y en las ideas expuestas en la
animación para deducir la fórmula.
6)  Verifique la fórmula, empleándola para resolver el ejercicio 1.
7)  El segmento AB está dividido por el punto P(2,1) en una
razón de 1/6, esto es   AP/PB=1/6. Si  B(3,4), determine las
coordenadas del punto A.
,
En el documento tienes las respuestas a los primeros problemas
planteados y  los últimos ejercicios resueltos
Puedes investigar más en el enlace.
Si determinamos que x1=-1/3, por cualquier
procedimiento, entonces
x1-(-2)=5/3  y de aquí
x2=-1/3+5/3=4/3
Los puntos (x1,-4) y (x2,-4) dividen al
segmento horizontal que va de (-2,-4)
a (3,-4) en tres partes iguales.
Puedes verificar  que los
puntos
P1 y P2 dividen el
segmento
AB en tres partes
iguales
Ejemplo  Los puntos P1 y P2 dividen el segmento  AB en razones 1/2  y 2
respectivamente.
Ver más detalles.







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Coordenadas del punto P(x,y) que dividen al segmento de
recta con puntos extremos A(x
1,y1) y B(x2,y2) en una razon
r=AP/PB dada
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