3.9    APLICACIONES DE RECTAS
PROBLEMAS
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Problema resuelto por pasos

Ejemplo Una tienda vendió 20 DVD en un mes cuando el precio de cada uno era de 25 UM. Cuando fijo el precio en 30 UM vendió 15 DVD. Estime la ecuación de demanda suponiendo que existe una relación lineal entre la demanda, q, y el precio, p.
Verificar que se puede usar la ecuación de una recta ↓
Respuesta
Como se específica que la ecuación de demanda es lineal entonces se tiene que esta ecuación es la de una recta.

Establecer las variables y establecer las variables que hacen las veces de x y y ↓
Respuesta
Las variables son

      p : : precio de cada DVD
      q : : cantidad demandada


Consideraremos la cantidad q como la variable de las abscisa y la cantidad p como la de la ordenada, tal como se las representan en el plano cartesiano.
      (q,p)

Observación Si invertimos, encontraremos una ecuación equivalente. Si lo hacemos de esta forma, la interpretación de esta pendiente es muy clara

Recabar información ↓
Dan la información de dos puntos

      (q1,p1) =(20,25) y
      (q 2,,p 2) =(15,30)

Establecer la pendiente ↓
Escribimos la fórmula de la pendiente, teniendo cuidado que el precio haces las veces de la variable y.

Sustituimos

Encontrar la ecuación ↓
Con la pendiente y uno de los dos puntos podemos encontrar la ecuación usando la forma punto-pendiente. Escribimos la forma punto pendiente, teniendo cuidado que el precio haces las veces de la variable y.

Sustituimos la pendiente y usando el primer punto como el punto 0

Finalmente, despejamos




La relación entre dos variables es lineal si una variable aumenta o disminuye siempre la misma cantidad frente a un aumento de una unidad de la otra variable. En base a esto podemos determinar la pendiente de la recta.

Podemos usar la ecuación punto pendiente para determinar la ecuación que relaciona las dos variable.

Ejemplo 2
Las reservas probadas de un mineral en cierto país en los actuales momentos son de 12,5 millones de toneladas. Si la explotación se mantiene constante en 20.000 toneladas al mes y no hay nuevas exploraciones que aumenten las reservas probadas
a Justifique que hay una relación lineal entre las reservas y el tiempo.
b Consiga esa relación lineal.
c) ¿Cuándo se acabarán las reservas probadas?
Respuesta
Como el cambio de las reservas es constante por mes (t) entonces hay una relación lineal entre ellas. Reiteramos, cada mes, las reservas disminuyen la misma cantidad.

Respuesta
Establecemos la variable dependiente

y : cantidad de reservas del mineral.

Recuerde que debemos trabajar con una única unidad de medida de la cantidad de reservas de mineral. Mediremos la cantidad de reservas en millones de toneladas al mes. En este caso, la cantidad -20.000 toneladas al mes representa la razón de cambio de las reservas en toneladas por mes (por una unidad de cambio en t). Expresamos esta cantidad en millones de toneladas por mes, así m=-0.02 millones de toneladas por mes.

Para conseguir la ecuación de la recta hace falta un punto (t,y). Como dan la información que hay 12,5 millones en los momentos actuales, tomamos ésta como la coordenada y de las reservas y como el tiempo es medido a partir de los momentos actuales, entonces la coordenada t es igual a 0. Así, la recta pasa por (0,12.5).

Para encontrar la ecuación de la recta se puede usar la ecuación punto-pendiente o la ecuación pendiente-ordenada en el origen pues 12,5 es la ordenada en el origen. Usamos la segunda:

      y=mt+ b
Al sustituir los valores se obtiene:

      y=-0,02 t+12,5 millones de toneladas

Se acabarán las reservas cuando y=0

Sustituimos este valor en la ecuación encontrada en b):

    0=-0,02 t+12,5

Se despeja t

      t=12,5/0,02=625
meses
Esta cantidad de meses equivale a 52 años.

En conclusión: en 52 años se acabarán las actuales reservas probadas con el ritmo de producción actual
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