FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN

Y PRODUCTOS NOTABLES


Contenido
1 Por factor común 2 Por productos notables 3 Mezclando técnicas


VIDEO 1
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN

En el video se explica de que trata el tema de factorización, se mencionan algunas técnicas y la importancia de la factorización. El método de sacar factor común es desarrollado, mostrando variados ejemplos.


Ejercicios para después del video
1) ¿Cuáles de los siguientes polinomios se le puede aplicar la técnica de factor común para factorizarlo? Saque el mayor factor común en los polinomios en que se pueda.
1.1) $ x^5 + 10x^4 – 15x^3; $
1.2) $ y^3 + 4y^2 – y + 2; $
1.3) $ x^8 – 4x^3; $
1.4) $ ay^3 + 2a^4y^2 – y + a $

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1.1) $ x^3( x^2 + 10x – 15) ; $
1.2) No se puede;
1.3) $ x^3 (x^5 – 4); $
1.4) No se puede


2) Factorice las siguientes expresiones por factor común
2.1) $ 16x^6 – 4x^3 + 12x^2; $
2.2) $ 24a^6y^3 + 4a^4y^2 – 12a^3y$

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2.1) $ 4x^2 (4x^4 – x + 3); $
2.2) $ 4a^3y ( 6a^3y^2 + ay – 3)$




   

VIDEO 2
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN

Se muestran expresiones que son interpretadas como una suma algebraica de términos complicados y en que es posible aplicar la técnica de factor común para lograr la factorización más rápidamente que si se emplea otro procedimiento.




Ejercicios para después del video
3) Factorice las siguientes expresiones

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FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES

Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con un término en común, escrito para identificar como $$x^2+(a+b)x+ab= (x + a )(x + b )$$ con $a$ y $b$ números enteros
Para factorizar el trinomio buscamos dos números que sumados den el coeficiente de $x$ y multiplicados el término independiente.

Ejercicios
4) ¿Cuáles de estos polinomios puede ser factorizado identificando con el desarrollo del producto $(x + a )(x + b )$ con $a$ y $b$ números enteros? Factorice los polinomios en que se pueda identificar con el desarrollo del producto $ (x + a )(x + b )$
4.1) $x^2 + 2x – 15;\quad$ 4.2) $y^2 – 2y – 15;$
4.3) $ x^2 – 4x + 3; \quad$ 4.4) $ z^2 + 2z – 4$

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4.1) $ (x + 5 )(x – 3 ) $
4.2) $(y – 5 )(y + 3 ) $
4.3) $(x – 3)(x – 1);$
4.4) No hay dos números enteros que multiplicados den $– 4 $ y sumados $2.$




   

VIDEO 4
DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se dan ejemplos de cómo efectuar la factorización cuando se tiene o se puede escribir una expresión como una diferencia de cuadrados.

Ejercicios para después del video
5) ¿Cuáles de los siguientes polinomios puede ser escrito como una diferencia de cuadrados? Factorice los polinomios que puedan ser expresados como diferencia de cuadrados.
5.1) $ x^2 + 16;\qquad$ 5.2) $ y^3 – 2;$
5.3) $ 4x^2 – 9;\qquad$ 5.4) $ 121 – 16z^4$

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5.1) No se puede: es suma de cuadrados.
5.2) No se puede expresar como una diferencia de cuadrados de polinomios.
5.3) $(2x – 3)(2x + 3);$
5.4) $( 11 – 4z^2 ) ( 11 + 4z^2 )$






   

VIDEO 5
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Se trata la factorización de expresiones que son o pueden escribirse como una suma o una diferencia de cubos.


Ejercicios para después del video
6) ¿Cuáles de los siguientes polinomios factorizaría por suma o diferencia de cubos? ¿Por qué? Factorice cada polinomio.



Ejercicios variados
7) Factorice cada polinomio. Indique cómo se puede obtener la factorización.
7.1) $x^2 – 6x + 8; \qquad$ 7.2) $ y^2 – 5y ;$
7.3) $x^2 – 9x – 10; \qquad$ 7.4) $ 16 – 0,01z^2$

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7.1) $(x – 4 )(x – 2 )\qquad $ Desarrollo del producto de binomios con un término en común

7.2) $ y ( y – 5 ) \qquad $ Factor común

7.3) $(x – 10)(x + 1);\qquad $ Desarrollo del producto de binomios con un término en común

7.4) $( 4 – 0,1z ) ( 4 + 0,1z )\qquad $ Diferencia de cuadrados



Lo importante es que al escribirse como una suma o diferencia de cubos, la base en la variable quede con exponente entero. Recuerda, que en general, se busca que los factores sean polinomios a coeficientes reales.

La expresión $4x^2 – 27$ conviene factorizarla como una diferencia de cuadrados y no de cubos. Si se factoriza como diferencia de cubos quedaría una expresión no polinómica.




   

FACTORIZAR MEZCLANDO TÉCNICAS

Así como en la descomposición de un número en sus factores primos, en los polinomios también se puede querer factorizarlo como producto de polinomios de grados menores, que ya no se puedan factorizar más. (Para profundizar el tema puedes ver video ).

Los polinomios de primer grado sin duda no se pueden factorizar más como producto de polinomios de grados menores. Así que podemos estar seguros que si hemos factorizado como producto de polinomios de primer grado hemos logrado el objetivo.

Para factorizar completamente un polinomio muchas veces hay que mezclar técnicas. Se recomienda primero sacar el máximo factor común, luego, si se puede, identificar con productos notables. Los factores resultantes, también habría que considerarlos factorizarlos.

Ejemplo
Factorice hasta que no pueda más $$(2 y^ 3 – 8y )$$ Solución
Primero se intenta por factor común. En este caso está 2 y como factor común. Al factorizar queda

$ (2 y^ 3 – 8y ) = 2 y ( y^ 2 – 4 )$ Ahora el segundo factor se intenta identificando con el desarrollo de algún producto notable. En este caso se puede por diferencia de cuadrados.

$\qquad = 2 y ( y + 2 ) ( y – 2 )$

Como cada factor es líneal, polinomio de primer grado, la factorización está completa.


   

Consejos para factorizar por completo un polinomio
a coeficientes reales

Primero extrae el máximo factor común.

Luego considera factorizar los factores resultantes identificando con algún producto notable.

Sigue considerando factorizar los factores resultantes hasta conseguir que cada factor sea un polinomio de primer grado o un polinomio sin raìces reales.



Algunos polinomios de segundo grado no se pueden expresar como producto de polinomios de menor grado a coeficientes reales.


Observa que no hay una fórmula para la suma de cuadrados. Así que no te debe costar admitir que los polinomios de la forma $$x^2 + a^ 2$$ son irreducibles en los reales.

Más general, se puede demostrar que

Si un polinomio de segundo grado no tiene raíces reales entonces es irreducible en los reales.




1 / 4
2 / 4
3 / 4
4 / 4



Ejercicios
8) Indique cuáles polinomios están factorizados completamente. Si alguno no está factorizado completamente, complete la factorización.
8.1) $ (x – 4)(x – 2); \qquad $ 8.2) $ (y^2 – 4)(y – 3)(y – 2) ; $
8.3) $ (x – 4)(x^2 – 9x); \qquad $ 8.4) $ (y^2 + 2 y + 1) $


9) Factorice completamente
9.1) $ 2x^3 – 4x^2 + 2x; \qquad $ 9.2) $ y^4 – 4y^2 ;$
9.3) $x^3(x – 4) – 2 x^2(x – 4)^2; \qquad $ 9.4) $ y^4 – 13 y^2 + 36$

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8.1) Ya
8.2) $ ( y – 2 )^2( y + 2 ) ( y – 3 ) $
8.3) $ x (x – 4)(x – 9); $
8.4) $ ( y + 1 )^2 $


9.1) $ 2x (x – 1)^2 $
9.2) $ y^2 ( y – 2 ) ( y + 2 ) $
9.3) $ – x^2 (x – 4)(x – 8); $
9.4) $ ( y + 2 ) ( y – 2 ) ( y + 3 ) ( y – 3 ) $



   

FACTORIZANDO TANTO COMO SE PUEDA

En ocasiones una expresión, que no es un polinomio, conviene expresarla de manera factorizada. En el video veremos un ejemplo en que se pide expresarla como un producto.

Ejercicios para después del video
10) Factorice tanto como pueda


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