ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
CON RAÍCES COMPLEJAS




La ecuación
x 2 =  -4 es de segundo grado. Evidentemente no tiene raíces reales.
En el sistema de los números complejos esta ecuación si tiene solución. Es más cualquier ecuación cuadrática siempre tiene soluciones en los números complejos.

Para describir las soluciones complejas recuerde que un número complejo está definido como $a+bi$, con $a$ y $b$ números reales e $i$ es la unidad imaginaria. $a$ es llamada la parte real y $b$ es la parte imaginaria.

$a+bi$ es la representación del número en su forma binómica o estándar.

Tenga presente además
1) La segunda potencia de $i$
$$i^2=-1$$


2) Considere $p$ un número real positivo.
La raíz cuadrada principal de $-p$, $\sqrt{-p}$,
Definición $$\sqrt{-p}=\sqrt{p}i$$


Las soluciones de las ecuaciones con la forma $x^2=-p$, con $p$ un número real positivo, son $\sqrt{p} i$ y $-\sqrt{p} i$
Efectivamente, al sustituir $x$ por una de ellas, se cumple la igualdad. Por ejemplo, si sustituimos $x$ por $-\sqrt{p}i$ en la ecuación encontramos que $$(- \sqrt{p}i)^2= (- \sqrt{p} i) \cdot ( -\sqrt{p} i)= ( - \sqrt{p} \cdot (- \sqrt{p})) (i\cdot i) =p i^2=-p$$



Siguiendo los mismos pasos para obtener la fórmula cuadrática de la ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0$, en el caso $b^2-4ac>0$ con $a,b$ y $c$ números reales, podemos llegar a la misma fórmula para el caso en que el discriminante, $b^2-4ac$, sea un número negativo. $$x=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac} } { 2a }$$ En el caso que $b^2-4ac<0$ se tiene dos raíces complejas.


Ejemplo Resolver $x^2-2x+2=0$
Solución
Aplicamos la fórmula cuadrática
$$x=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac} } { 2a }$$ $$x=\frac {-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2} } { 2\cdot 1 }$$ $$x=\frac {2 \pm \sqrt{4-8} } { 2 }$$ $$x=\frac {2 \pm \sqrt{-4} } { 2 }$$

Se aplica la definición de $\sqrt{ -p}$
Se sustituye $\sqrt{ -4}$ por $\sqrt{ 4}i$ $$x=\frac {2 \pm \sqrt{4}i } { 2 }$$

Se simplifica las expresiones resultantes
Se simplifica $\sqrt{4}$ $$x=\frac {2 \pm 2i } { 2 }$$ Se saca 2 de factor común $$x=\frac {2(1 \pm i ) } { 2 }$$ Se cancelan los factores comunes del numerador y del denominador $$x= 1 \pm i $$

Concluir
La ecuación dada tiene dos raíces $$x_1=1 + i \; \text{ y } \; x_2=1 - i $$


Recuerde aplicar primero la definición de la raíz negativa antes de usar propiedades de los radicales.

Las soluciones se suelen presentar en su forma estándar o binomial, $a+bi$.


Ejemplo Resolver $2x^2+4x+3=0$
Solución
Aplicamos la fórmula cuadrática
$$x=\frac {-b\pm \sqrt{b^2-4ac} } { 2a }$$ $$x=\frac {-4\pm \sqrt{(4)^2-4\cdot 2 \cdot 3} } { 2\cdot 2 }$$ $$x=\frac {-4 \pm \sqrt{16-24} } { 4 }$$ $$x=\frac {-4 \pm \sqrt{-8} } { 4 }$$

Se aplica la definición de $\sqrt{ -p}$
Se sustituye $\sqrt{ -8}$ por $\sqrt{ 8}i$ $$x=\frac {-4 \pm \sqrt{8}i } { 4 }$$

Se simplifica las expresiones resultantes
Se simplifica $\sqrt{8}$ $$x=\frac {-4 \pm 2\sqrt{2}i } { 4 }$$ Se saca 2 de factor común $$x=\frac {2(-2 \pm \sqrt{2}i) } { 4 }$$ Se cancelan los factores comunes del numerador y del denominador $$x=\frac {-2 \pm \sqrt{2}i } { 2 }$$

Concluir, expresando las raíces en su forma estandar o binómica
Se suele expresar las raíces en la forma $a+bi$. Para lograrlo. descomponemos el resultado como una suma de fracciones con igual denominador y simplificamos.

La raíces son $x_1=-1 - \frac{ \sqrt{2}}{2}i $ y $x_2=-1 + \frac{ \sqrt{2}}{2}i $




Propiedades de las soluciones Una propiedad de las ecuaciones de segundo grado a coeficientes reales con raíces complejas es que ellas son conjugadas entre si.
Es decir, si una raíz es un número complejo, $a+bi$, la otra raíz es $a-bi$.

Ejemplo Si $3-2i$ es una raíz de una ecuación de segundo grado a coeficientes reales, hallar la otra raíz.
Solución
Como una raíz es compleja, la otra raíz es su conjugada, esto es, la misma parte real y la parte imaginaria la opuesta a la otra. Por tanto, la otra raíz es $3+2i$



Ejercicio Si $-5+2i$ es una raíz de una ecuación de segundo grado a coeficientes reales, encontrar la otra raíz.
Respuesta
$-5-2i$



Las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado referentes a la suma y producto de las raíces se siguen cumpliendo:
Dada la ecuación $ax^2+bx+c=0$, con coeficientes reales y raíces $r_1$ y $r_2$, se tiene que $$r_1+r_2=-b/a$$ y $$r_1\cdot r_2=c/a$$

Para las ecuaciones con $a=1$ se tiene $$x^2-Sx+P=0$$ donde $S$ es la suma y $P$ el producto de las raíces.
A partir de aquí, podemos encontrar una ecuación conociendo la suma y el producto de sus raíces.
Si las raíces son complejas, como ellas son conjugadas entre si, $a+bi$ y $a-bi$, tenemos que la suma es $$S=2a$$ y el producto $$P=(a+bi)(a-bi)= a^2+b^2$$

Pulsa para ver más
\begin{array}{cl} P&=&(a+bi)(a-bi) \\ &=& a^2-(bi)^2\\ &=& a^2-b^2i^2\\ &=& a^2-b^2(-1)\\ &=& a^2+b^2\\ \end{array}



En el siguiente problema podremos encontrar una ecuación de segundo grado conociendo una de sus raíces.


Ejemplo Encontrar una ecuación de segundo grado a coeficientes reales tal que una raíz sea igual a $-2-4i$
Solución
La otra raíz es la conjugada
La otra raíz es $-2+4i$

Determinar la suma y el producto de las raíces
$S=(-2-4i)+(-2+4i)=-4$
$P=(-2-4i)\cdot (-2+4i)=(-2)^2-(4i)^2=4-16i^2$
$P=4+16=20$


Sustituir en $x^2-Sx+P=0$
La ecuación es $$x^2-(-4)x+20=0$$ esto es $$x^2+4x+20=0$$



Ejercicios Resolver cada ecuación. En el caso de raíces complejas, expresar las soluciones en la forma estándar o binomial. Indique las ecuaciones con soluciones reales.
a) $ 3x^2-2x+4=0$
b) $4x^2-5x+3=0$
c) $x^2-5x+3=0$
d) $ x^2-2x+3=0 $
e) $ \frac{1}{2}x^2-x+1=0$

Respuestas
a) $\frac{1 } { 3}+\frac{\sqrt{11} } { 3}i $ y $\frac{1 } { 3}-\frac{\sqrt{11} } { 3}i $
b) $\frac{5 } { 8}+\frac{\sqrt{23} } { 8}i $ y $\frac{5 } { 8}-\frac{\sqrt{23} } { 8}i $
c) $ \frac{ 5+ \sqrt{13}}{2}$ y $ \frac{ 5- \sqrt{13}}{2}$. Soluciones reales.
d) $ 1-\sqrt{2}\,i, $ y $1+ \sqrt{2}\,i$
e) $ 2-\sqrt{2}\,i $ y $ 2+\sqrt{2}\,i $




Ejercicio Encontrar una ecuación de segundo grado con coeficientes reales tal que una raíz sea $4-i$
$x^2-8x+17=0$