Una sucesión es geométrica si todas los cocientes consecutivos son iguales.


Ejemplo Indique cuáles de las siguientes sucesiones pueden corresponder a una progresión geométrica e indique en tal caso la razón común, $r$.
a) $2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots$
b) $5,5,5,5,\cdots $
c) $15,75,375,750,\cdots$
d) $-1,1,-1,1,\cdots $


Planteamos todos los cocientes consecutivos hasta conseguirmos alguno diferente a los anteriores.

Si resultan todos iguales concluimos que corresponde a una progresión geométrica y su razón es el cociente en común.

a) $2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots$

$ \frac{a_4}{a_3}=\frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{2} }= \frac{1}{2} $

$ \frac{a_3}{a_2}= \frac{ \frac{1}{2} }{ 1 }= \frac{1}{2} $

$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{ 2 }{ 1 }= \frac{1}{2} $

La sucesión es geométrica y $r= \frac{1}{2} $


b) $5,5,5,5,\cdots $
Claramente todos los cociente son iguales a $1$

$ \frac{a_i}{a_{i-1}}=\frac{ 5 }{5 }=1$ Las sucesiones constantes son consideradas sucesiones geométricas.

La sucesión es geométrica y $r= 1 $


c) $15,75,375,750,\cdots$
$ \frac{a_4}{a_3}=\frac{750 }{ 375 }=2$

$ \frac{a_3}{a_2}= \frac{ 375 }{ 75 }=5 $

Como hay dos cocientes consecutivos distintos, concluímos de una vez que la sucesión no corresponde a una progresión geométrica.


d) $-1,1,-1,1,\cdots $

$ \frac{a_4}{a_3}=\frac{1 }{ -1 }=-1$

$ \frac{a_3}{a_2}=\frac{-1 }{ 1 }=-1 $

$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{1 }{ -1 }=-1$

La sucesión es geométrica y $r= -1 $
      SUCESIONES O PROGRESIONES GEOMÉTRICAS


Definición. Ejemplo


Definición
    Una sucesión $a_1,\cdots,a_n,\cdots $ se dice una progresión o sucesión geométrica si existe una constante $r,(\ne 0)$ tal que $$\frac{a_n}{a_{n-1}}=r$$


La constante $r$ es llamada la razón común.

Observación Al despejar $$a_n=r\cdot a_{n-1}$$

     Un término de la sucesión se obtiene del anterior multiplicando por la razón común.

Ejemplo Escriba los primeros seis términos de una sucesión geométrica cuyo primer término es 8 y la razón común es $\frac{1}{2}$.
8   4  2  1   $\frac{1}{2}$   $\frac{1}{4}$






Representación gráfica de series geométricas, $n$ vs $a_n$
Las progresiones geométricas se pueden representar en el plano cartesiano. Mediante los ejemplos se podrá apreciar distintos comportamientos de las progresiones geométricas dependiendo principalmente del valor de $r$ visualizadas rápidamente en las gráficas

Ejemplo 1 Representar los términos obtenidos en la sucesión del ejemplo anterior en el plano cartesiano $ n\times a_n$ Describa el comportamiento de la sucesión.
.



La sucesión decrece y se va acercando cada vez más a 0 conforme $n$ se va alejando a infinito, con valores positivos.






Ejemplo 2 Representar en el plano cartesiano los primeros ocho términos de la progresión geométrica con primer término igual a 1 y razón común $-1$ Describa el comportamiento de la sucesión.
.



La sucesión se alterna de $1$ a $-1$ de manera infinita.






Ejemplo 3 Representar en el plano cartesiano los primeros ocho términos de la progresión geométrica con primer término igual a 2 y razón común $\frac{3}{2}$ Describa el comportamiento de la sucesión.
.



La sucesión crece, alcanzando valores arbitrariamente grandes conforme $n$ toma valores cada vez más grandes.
La sucesión está sobre la curva de crecimiento exponencial.








Fórmula del término general. Problema resuelto

Se puede obtener rápidamente cualquier término de la sucesión a partir del primer término y la razón común mediante la fórmula dada en el recuadro conocida también como la fórmula del término enésimo.

Fórmula del término general de una progresión geométrica
$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$




Problema 1 Calcular el octavo término de la progresión geométrica con primer término igual a $\frac{1}{2}$ y razón común igual a 2.
Solución
Precisar informaciones y que se quiere. Datos $a_1$ y $r$, $a_8=?$.
$a_1=\frac{1}{2}$, $r=2$

$a_8=?$


Sustituir en la fórmula del término general
$a_8=a_1\cdot r^{8-1}$

$a_8=\frac{1}{2}\cdot 2^{7}$


Efectuar las operaciones numéricas y responder
$a_8=\frac{1}{2}\cdot 2^{7}$

$a_8=\frac{1}{2}\cdot 128 =64$

El octavo término es igual a $64$.







Para aplicar la fórmula del término general con el fin de determinar algún término de la sucesión se debe conocer $a_1$ y $r$. Si alguna de estas cantidades no se dan explícitamente, entonces se determina.

Problema 2 Calcular el octavo término de la progresión geométrica $$\frac{9}{8}, -\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \cdots$$ Solución
Recopilar información, $a_1,a_2$ y $a_3$. Precisar la cantidad a buscar, $a_{8}$
$a_1=\frac{9}{8}, a_2=-\frac{3}{4} $ y $a_3=\frac{1}{2}$

$a_{8}= ? $


Determinar $r$, planteando el cociente de términos consecutivos.

Al dividir términos consecutivos obtenemos $r$

$ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_1\cdot r^{3-1}}{a_1\cdot r^{2-1}}=r$

$r= \frac{a_3}{a_2}=\frac{ \frac{1}{2} }{ -\frac{3}{4}} =-\frac{4\cdot 1}{2\cdot (3)}$

    $=-\frac{2}{3}$


Encontrar $a_8$. Sustituir $r$ y $a_1$ en la fórmula del octavo término.

$a_8=a_1\cdot r^{8-1}$

$a_8=\frac{9}{8}\cdot \left(-\frac{2}{3} \right) ^{7}$

$a_8=\frac{3^2}{2^3}\cdot \left( -\frac{2^7}{3^7} \right) $

$a_8= -\frac{2^4}{3^5} $

$a_8= -\frac{16}{243} $










Problemas resueltos por medio de una ecuación
En muchos problemas la fórmula del término general es usada para plantear una ecuación que permite encontrar la incógnita.



En los problemas 3,4 y 5 se busca encontrar $r, a_1$ y $n$, respectivamente.

Al sustituir los datos en la fórmula del término general surgen distintos tipos de ecuaciones.

Cuando la incógnita es $r$ se busca llevar la ecuación a la forma potencia igual a constante que se resuelve tomando la raíz con índice adecuado.

Cuando la incógnita es $a_1$ queda planteada una ecuación lineal que se resuelve despejando la variable.

Cuando la incógnita es $n$ se consigue una ecuación exponencial que se intenta resolver llevando la ecuación a la forma una potencia igual a otra con la misma base, entonces se igualan los exponentes y se despeja $n$.



Problema 3 Encuentre la razón común de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a $150$ y cuarto término igual a $ -\frac{ 48 }{ 5 }$
Solución
Recopilar información, $a_1$ y $a_4$. Precisar la cantidad a buscar, $r$.
$a_1=150 $

$a_{4}= -\frac{ 48 }{ 5 }$

$r=?$


Plantear la ecuación con incógnita $r$.
Sustituir los datos en la fórmula general del cuarto término.

$a_4=a_1\cdot r^{4-1}$

$ -\frac{ 48 }{ 5 } =150\cdot r^3$


Resolver la ecuación.

Se despeja la potencia

$ -\frac{ 48 }{ 5\cdot 150 } = r^3$


Al simplificar

$-\frac{ 8 }{ 5^3 }= r^3$

Se toma raíz cúbica a ambos miembros

$r=-\frac{2 }{ 5 }$






Problema 4 Encuentre el primer término de una progresión geométrica cuyo sexto término es igual a $-\frac{ 16 }{ 81 }$ y la razón común es $-\frac{1}{3}$
Solución
Recopilar información, $a_6$ y $r$. Precisar la cantidad a buscar, $a_1$
$a_6=-\frac{ 16 }{ 81 }$, $r= \frac{-1}{3} $

$a_1=?$


Sustituir en la fórmula para $a_6$, para encontrar una ecuación con incógnita $a_1$.

$a_6=a_1\cdot r^{6-1}$

$-\frac{ 16 }{ 81 }=a_1\cdot \left( \frac{-1}{3} \right)^5$



Resolver la ecuación para encontrar $a_1$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable

$\frac{ 16\cdot 3^5 }{ 3^4 }=a_1$,

Al simplificar

$a_1=48$






Problema 5 ¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica con razón común $3$ que comienza en $- \frac{ 1 }{ 3 }$ y termina en $ -729$? Resp 8
Solución
Recopilar información, $a_6$ y $r$. Precisar la cantidad a buscar, $a_1$
$a_6=-\frac{ 1 }{ 3 }$, $r= 3 $

$a_n=-729$

$n=?$


Sustituir los datos en la fórmula para $a_n$, para encontrar una ecuación con incógnita $n$.

$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

$ -729=-\frac{ 1 }{ 3 } \cdot 3^{n-1} $



Resolver la ecuación para encontrar $n$.

Primero se despeja $3^{n-1}$

$3^{n-1}=\frac{729}{3}$

Es una ecuación exponencial, se expresa el lado derecho como una potencia de base 3

$3^{n-1}=3^7$

Se igualan los exponentes

$n-1=7$

$ n=8 $







En el problema 1 vimos como determinar un término particular de la sucesión cuando $a_1,r$ y $n$ son conocidas. Si alguna de estas cantidades resulta desconocida, primero se determina con las informaciones dadas en el problema, para luego encontrar el término pedido usando la fórmula del término general. Mostramos el siguiente ejemplo.

Problema 6 Encuentre el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es $\frac{9}{2}$ y su cuarto término es $-\frac{1}{6}$.
Solución
Recopilar información, $a_1$ y $a_4$. Precisar la cantidad a buscar, $a_6$
$a_1=\frac{9}{2}$ y $a_4=-\frac{1}{6}$

$a_6=?$



Encontrar $r$. Sustituir los datos en la fórmula del término cuatro para plantear una ecuación con incógnita $r$ y resolver la ecuación

$a_4=a_1\cdot r^3$

$-\frac{1}{6}=\frac{9}{2}\cdot r^3$

Se tiene una ecuación polinomial en que sólo aparece un término con $r$. Se despeja la potencia

$r^3=-\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{9}$

$r^3=-\frac{1}{27}$

$r=\sqrt[3]{ -\frac{1}{27}}$

$r=-\frac{1}{3}$


Encontrar $a_6$. Sustituir $a_1$ y $r$ en la fórmula del término sexto.

$a_6=a_1\cdot r^5$

$a_6=\frac{9}{2}\cdot \left ( -\frac{1}{3} \right) ^5$

Se simplifica

$a_6=-\frac{1}{54}$








Problemas resueltos por medio de un sistema de ecuaciones
Con las informaciones de dos términos cualesquiera podemos encontrar otro término de la sucesión. Una forma de resolver este tipo de problema es plantear el sistema de ecuaciones dado por las fórmulas de los términos conocidos, al resolver este sistema se encontrará el primer término y la razón común. Por último, con estas dos informaciones, se encuentra el término pedido


Problema 7 Encuentre el décimo término de una progresión geométrica cuyo cuarto término es $4$ y el séptimo término es $8\sqrt{2}$.
Solución
Recopilar información, $a_4$ y $a_7$. Precisar la cantidad a buscar, $a_{10}$
$a_4=4$ y $a_7=8\sqrt{2}$

$a_{10}=?$



Primero determinar $r$ y $a_1$.


Plantear un sistema de ecuaciones con incógnitas $r$ y $a_1$ .
Primera ecuación viene de la fórmula del término cuarto. La fórmula del término séptimo es la segunda ecuación.
\begin{cases} a_4=a_1\cdot r^{4-1} \\ a_7=a_1\cdot r^{7-1} \end{cases} Sustituímos los datos en las ecuaciones \begin{cases} 4=a_1\cdot r^3 \\ 8\sqrt{2}=a_1\cdot r^6 \end{cases}


Empezar a resolver el sistema de ecuaciones.
Dividir la ecuación de $a_7$ entre la ecuación $a_4$ para eliminar $a_1$.

$ \frac{8\sqrt{2}}{4}=\frac{a_1\cdot r^6}{a_1\cdot r^3}$

Al simplificar

$2\sqrt{2}= r^3$


Encontrar $r$ al resolver la ecuación resultante del paso anterior

Pasamos a la notación de exponente racional $ 2\cdot 2^{\frac{1}{2}}= r^3\\ \\ 2^{\frac{3}{2}}= r^3\\ \\ r=\left( 2^{\frac{3}{2}} \right )^{\frac{1}{3}}\\ \\ r= 2^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3} }\\ \\ r= 2^{\frac{1}{2}} \\ \\ r=\sqrt{2} $

$ $


Encontrar $a_1$.
Sustituir $r$ en la ecuación de $a_4$ (o de $a_7$). Queda una ecuación con incóggnita $a_1$. Resolver la ecuación

$ 4=a_1\cdot \left (\sqrt{2} \right )^3 $

Resolvemos la ecuación, es lineal.

$\frac{4}{2\sqrt{2} }=a_1 $

$a_1=\sqrt{2}$


Encontrar la cantidad pedida, $a_{10}$.
Sustituir $r$ y $a_1$ en la fórmula de $a_{10}$

$ a_{10}=a_1\cdot r^{10-1} $

$a_{10} = \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right) ^{9} $

$a_{10} = \left(\sqrt{2}\right) ^{10} $

$a_{10} =2^5=32 $
.








Suma de los términos de una progresión geométrica. Fórmula

La sumatoria de los primeros términos de una progresión geométrica
$$a_1+a_1r+a_1r^2 +\cdots+a_1r^{n-1} $$
denotada por $S_n$, puede ser calculada a partir del primer y la razón común mediante la fórmula dada en el recuadro.

Fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una progresión geométrica

$$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$$ para $r\ne 1$


La fórmula anterior es muy usada en la resolución de problemas de sucesiones geométricas.






Problemas sobre sumas de los términos de una progresión geométrica

Problema 8 Determine la suma de los primeros términos de una progresión geométrica con razón común $-\frac{ 1 }{ 3 }$ y primer término igual a $18$.
Solución
Recopilar información, $a_1$ y $r$. Precisar la cantidad a buscar, $S_{8}$

$ a_1 = 18 ~~,~~ r = -\frac{ 1 }{ 3 } ~~,~~ n =8$

$S_{ 8 } = ? $


Sustituir en la fórmula para $S_8$

$S_n=a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

$S_8=18\cdot \frac{1- \left( -\frac{ 1 }{ 3 } \right) ^8} {1- \left(-\frac{ 1 }{ 3 } \right)}$


Efectuar las operaciones numéricas

$S_8=18\cdot \frac{1-\frac{ 1 }{ 3 ^8} } {1+\frac{ 1 }{ 3 } }$

$S_8=18\cdot \frac{\left( 3^8-1\right) 3 } {\left( 3+1\right) 3^8 }$

$S_8=18\cdot \frac{ 6561-1 } {4\cdot 3^7 }$

$S_8= \frac{6560 } {2\cdot 3^5 }$

$S_8= \frac{3280 } { 243 }$





La fórmula se usa sólo para progresiones geométricas y hay que conocer el primer término, la razón común y la cantidad de términos a sumar. Si no se conoce alguno de estos datos se determina primero, con las informaciones dadas en el problema.

Problema 9 Encuentre $$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}+1+2+4+8$$
Solución
Recopilar información, $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ y $n$.
Precisar la cantidad a buscar, $S_7$

Todos los cocientes consecutivos tienen que ser iguales $a_1=\frac{1}{2^3},~~ a_2=\frac{1}{2^2},~~ a_3=\frac{1}{2},$

$a_4=1,~~ a_5=2, ~~a_6=4,~~ a_7=8$

$S_7=?$


Verificar que es una progresión geométrica.
Encontrar $r$

Planteamos todos los cocientes consecutivos, si son todos iguales, entonces la sucesión es geométrica y la razón es el cociente

$ \frac{a_7}{a_6}=\frac{ 8 }{4}=2$

$ \frac{a_6}{a_5}=\frac{ 4 }{2}=2$

$ \frac{a_5}{a_4}=\frac{ 2 }{1}=2$

$ \frac{a_4}{a_3}=\frac{ 1 }{ \frac{1}{2} }=2$

$ \frac{a_3}{a_2}=\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{4} }=2$

$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{8} }=2$

La sucesión es geométrica y $r=2$
$ $



Sustituir en la fórmula de $S_7$

$S_n=a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

$S_7=\frac{1}{2^3}\cdot \frac{1-2 ^7} {1- 2}$


Efectuar las operaciones numéricas planteadas para encontrar $S_7$

$S_7=\frac{1}{2^3}\cdot \frac{1-128}{-1}$

$S_7=\frac{1}{2^3}\cdot \frac{-127}{-1}$

$S_7= \frac{127}{8}$





La suma de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica, llamada suma parcial o limitada puede ser representanda usando la notación de sumatoria $$ \sum_{i=1}^{n}{ \left ( a_1r^{i-1} \right )}$$ Se pueden presentar otras escrituras con sumatorias cuyos términos forman una progresión geométrica. Por ejemplo, $$ \sum_{i=3}^{8}{ \left ( 2\cdot 3^{i-1} \right )},\; \; \; \sum_{i=1}^{10}{ \left ( 3\cdot 4^{2i+1} \right )}, \; \; \sum_{i=1}^{15}{ \frac{3(-1)^i}{ 4^{i-1}} }\; $$ son sumas de los términos de una progresión geométrica. Se verifica viendo que los cocientes de términos consecutivos son constantes, o que un término es igual al anterior por una misma constante.


Problema 10 Encuentre $$ \sum_{i=1}^{7}{ \left ( -\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{i}}$$
Solución
Expandir la suma para recabar información y precisar cantidad que se busca.

Se expande la sumatoria de $i=1$ a $i=7$
$ \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{1}+ \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{2}+ \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{3}+ \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{4} + \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{5} + \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{6}+ \left (-\frac{ 3 }{ 2 } \right )^{7} $

Claramente, los términos que se están sumando corresponden a una progresión geométrica, pues un término se obtiene del anterior al multiplicarlo por $-\frac{ 3 }{ 2 } $. La razón entonces es $r=-\frac{ 3 }{ 2 } $ y $a_1=-\frac{ 3 }{ 2 }$

Es una suma de siete términos:

$S_7=?$


Sustituir en la fórmula de $S_7$.


$S_n=a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

$S_7=-\frac{ 3 }{ 2 }\cdot \frac{1-\left(-\frac{ 3 }{ 2 } \right)^7} {1- \left(-\frac{ 3 }{ 2 } \right)}$




Hacer las operaciones numéricas indicadas.

$S_7=-\frac{ 3 }{ 2 }\cdot \frac{1-\left(-\frac{ 3^7 }{ 2^7 } \right)} {1+\frac{ 3 }{ 2 } }$

$S_7=-\frac{ 3 }{ 2 }\cdot \frac{1+\frac{ 3^7 }{ 2^7 } } {1+\frac{ 3 }{ 2 } }$

$S_7=-\frac{ 3 }{ 2 }\cdot \frac{\left(2^7+ 3^7 \right)2} {(2+3)2^7 }$

$S_7=-\frac{ 1389 }{128 }$












Número de términos a sumar: Problema resuelto usando la fórmula


Problema 13 ¿Cuántos términos de la sucesión geométrica con razón común igual a $-2$ y primer término igual a $2$ deben sumarse para que la suma sea igual a 342?
Solución
Recopilar información, $ a_1 $ y $r$.
Precisar la cantidad a buscar, $n$

$ a_1 = 2 ~~,~~ r = -2$

$S_n=342$

$n=?$


Encontrar una ecuación con incógnita $n$
Sustituir los datos en la fórmula $S_n$

$S_n=a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

$342=2\cdot \frac{1-\left(-2 \right) ^n}{1-\left(-2 \right)}$


Resolver la ecuación planteada en el paso anterior para encontrar $n$

$342=2\cdot \frac{1-\left(-2 \right) ^n}{1+2 }$

$\frac{342\cdot 3}{ 2}= 1-\left(-2 \right) ^n$

$513= 1-\left(-2 \right) ^n$

$512=-\left(-2 \right) ^n$

Para $n$ par no se tiene solución, pues una cantidad positiva no puede ser igual a una negativa.

Para $n$ impar se tiene

$512=2 ^n$

$2^9=2 ^n$ Por tanto,

$n=9$







Serie geométrica infinita. Fórmula

La suma infinita
$$a_1+a_1r^1+a_1r^2+\cdots+a_1r^{i-1}+\cdots$$
es llamada la serie geométrica infinita con primer término $a_1$ y razón $r$.

La serie geométrica infinita o sencillamente la serie geométrica también puede ser denotada usando la notación de sumatoria. $$\sum_{i=1}^{\infty}a_1r^{i-1} $$ La suma de una progresión geométrica infinita se define cuando se tiene la convergencia de las sumas parciales, $S_n$.

Podemos escribir $$S_n=\frac{a_1}{1-r}-a_1\cdot\frac{r^n}{1-r}$$ Si $|r|<1$ entonces $r^n$ tiende a $0$ cuando $n\rightarrow \infty$ y por consiguiente $S_n$ converge a $\frac{a_1}{1-r}$. Esto es, $S_n$ tiende a $\frac{a_1}{1-r}$ conforme $n$ va a infinito.

Definimos la suma de la serie geométrica infinita, $\sum_{i=1}^{\infty}a_1r^{i-1}$, como $$\sum_{i=1}^{\infty}a_1r^n= \frac{a_1}{1-r}$$ cuando $-1\lt r \lt 1$

Usamos $S$ para abreviar la suma de la serie geométrica infinita. Esto es
$$S=\frac{a_1}{1-r}$$ para $|r|\lt 1$




Problema 14 Calcular la suma de la serie geométrica $$3-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{8}+\cdots $$
Solución
Determinar $r$ y verificar que $r\in (-1,1)$. Precisar $a_1$

$r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{ -\frac{3}{2} }{3}=-\frac{1}{2}$

Efectivamente, $|r|\lt 1$,

$a_1=3$


Sustituir en la fórmula de la suma de la serie geométrica infinita.

$S= \frac{a_1}{1-r}$


$ S= \frac{3}{1-\left( -\frac{1}{2} \right)} $


Efectuar las operaciones

$ S= \frac{3}{1+\frac{1}{2} } $

$ S= \frac{3}{\frac{3}{2} } $

$ S=2 $