El límite


es una forma indeterminada del tipo 0/0, pues



Entre las características de la función que se le está tomando
límite tenemos que:
  •  El numerador es un binomio con raíces cúbicas.
  •  El denominador es un polinomio


Una recomendación para resolver la indeterminación y poder
evaluar el límite consiste en
  • Racionalizar el numerador
  • Buscar factores comunes en el numerador y denominador que
    se anulen en 2
  • Cancelar los factores comunes
  • Finalmente, si el límite obtenido no es una forma indeterminada
    pasar a encontrarlo, usando las propiedades de límites

Recuerda que racionalizar el numerador es encontrar una
expresión equivalente sin radicales en el mismo.
 
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Ejemplo    Calcular


Solución  Multiplicamos todo el numerador y todo el denominador por el factor                       
racionalizante, en este caso el de una diferencia con raíces cúbicas
En límites indeterminados con numerador o denominador binomios con raíces
cuadradas  se usa la conjugada como el factor racionalizante, pues provoca el
resultado de una diferencia de cuadrados. En el caso de raíces cúbicas se  
busca otro factor racionalizante que al aplicarlo, en el denominador  quede una
suma o diferencia de cubos, para poder simplificar las raíces del numerado o
denominador
Para racionalizar usamos, en el caso que tengamos una diferencia, la siguiente fórmula de diferencia de cubos $$a^3-b^3 = (a-b)( a^2+ab +b^2)$$ En el lado derecho, identificamos (a-b) como la expresión del miembro de la fracción que se quiere racionalizar, que contiene raíces cúbicas. El otro factor del lado derecho lo identificamos con el factor racionalizante. Su producto es una suma de cubos que nos permitirá simplificar los radicales.

Para la suma tenemos esta otra fórmula $$a^3+b^3 = (a+b)( a^2-ab +b^2)$$
Se aplica la fórmula de diferencia
de cubos en el numerador.

El producto del denominador no
conviene desarrollarlo
Se simplifica los radicales
Se cancelan los factores comunes
Resolvimos la indeterminación
El límite lo podemos evaluar
usando las propiedades de límites
Otro argumento: como  la función
obtenida, que toma los mismos
valores que la original, salvo en 2,
es una función continua, entonces
podemos determinar el límite por
sustitución directa
En el caso que se tenga un límite de un cociente de funciones continuas podemos concluir  si es una forma  indeterminada sencillamente sustituyendo.
Animación
LÍMITE DE INDETERMINADOS CERO/CERO
Denominador binomio con raíz cúbica
El numerador un polinomio no factorizado
La animación desarrolla un ejemplo en que se halla el límite de una forma indeterminda 0/0 con las especificaciones dadas. Luego de racionalizar, se buscan los factores idénticos a cancelar, factorizando el numerador Se siguen las recomendaciones dadas arriba. Se demuestra la fórmula de la suma de cubos

Ejercicios
1)
Determinar los siguientes límites \begin{array}{ll} 1.1) \ \lim_{x\rightarrow -1}\frac{ \sqrt[3]{x}+1} { x^2+x } \; &1.2)\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{ \sqrt[3]{x}-1} { \sqrt[]{x}-1 } \\ 1.3) \ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x^2-3x+2} { \sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x+2} } \; \end{array}
Respuestas
1.1) $-\frac{1 } {3 };$ 1.2) $\frac{ 2} { 3};$ 1.3) $ 2 \sqrt[3]{2}$


En 1.2) se tiene una raíz cúbica en el numerador y otra cuadrada en el denominador. El problema se resuelve multiplicando numerador y denominador por los factores racionalizantes de ambos.

Abajo, mostramos las respuestas junto con la resolución, explicando cada paso hasta llegar a la solución
Límites de formas indeterminadas del tipo 0/0
      Caso binomio con raíces cúbicas
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