Respuestas
2.1) 0; 2.2) 5/12
Abajo está la resolución, explicando cada paso
<\br>
Hasta que no simplifiques un factor del numerador que se anula en a con otro idéntico del denominador tendrás una forma indeterminada 0/0....../ /


Respuestas
3.1) $\frac{ \sqrt{2}} {4}$ ; 3.2) $-12$; 3.3) 0; 3.4) $\frac{ \sqrt{2}} {2}$

Abajo están los ejercicios resueltos, explicados en detalle.


Podemos ahorrarnos el trabajo de multiplicar por la fracción
conjugada/conjugada y pasar de una vez a multiplicar todo el
numerador y todo el denominador por la conjugada




El teorema enunciado puede ser justificado usando la propia definición de límite, tomando en cuenta que el límite no depende del valor de la función en el punto $a. $





























Normalmente procedemos de manera abreviada






Observe como hemos escrito la fracción "0/0" arriba de la primera igualdad para indicar que tenemos una forma indeterminada.

En el límite
                   
no podemos aplicar la regla del cociente, porque el límite del denominador es igual a 0. Aún cuando tenemos el límite de una función racional. Tampoco podemos aplicar sustitución directa, pues la función no está definida en x = 2. Observe que cuando sustituimos x por 2 obtenemos la expresión no definida "0/0". Pero esto no indica nada si el límite existe o no.y en caso que exista, cuál es su valor. Una tabla de valores, como la que te mostramos al lado, y la gráfica de la función sugieren que en este caso el límite existe y su valor parece ser 4.


    El límite $\lim_{x\rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)}$ tiene forma indeterminada del tipo $\frac{0}{0}$ si $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ y $\lim_{x\rightarrow a}h(x)=0$

La expresión indeterminada es porque el resultado de la sustitución: 0/0, no sugiere nada sobre si el límite existe o no, y si existe cuál es su valor.
Animación Límite de cociente de polinomios
Forma indeterminada cero/cero
Factorizar y simplificar


Se factoriza $(x-a)$ tanto en el numerador como en el denominador.

Cancelar el factor del numerador con el del denominador.
Si el límite de la expresión resultante no es una forma indeterminada entonces se consigue el límite por sustitución directa

Ejercicios
1)
Calcular los siguientes límites \begin{array}{ll} 1.1) \ \lim_{x\rightarrow -2}\frac{ x^2+4x+4} { x^2-4 } \; &1.2)\ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{ x^2-9} { x^2-3x } \\ 1.3) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x^3+4x^2-x} { x^2-4x } \; &1.4)\ \lim_{y\rightarrow 5}\frac{ 25-y^2} { y^2-4y-5 } \end{array}
Respuestas 1.1) 0; 1.2) 2; 1.3) 1/4; 1.4) 5/3
Para resolver algunas indeterminaciones de este tipo nos valemos que el valor del límite depende de los valores de la función en los puntos cercanos al punto a. Así que podemos sustituir la función por otra función que asuma los mismos valores, salvo en a, de tal manera que el límite de la otra función pueda ser obtenido por propiedades y sustitución directa.
Teorema (funciones que coinciden salvo en el punto a)
    Sean $f $ y $g$ dos funciones tales que $f(x) = g(x)$ para todo $x$ pertenciente a un intervalo abierto conteniendo el punto $a$, salvo en el punto $a$. Se tiene que si $$ \lim_{x\rightarrow a}g(x) \ \text{ existe}$$ entonces $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x) \ \text{ existe}$$ y $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) $$

Como

las funciones $$ f(x)=\frac{x^2-4 } {x-2 } \; \text{ y } \; g(x)=x+2$$ toman los mismos valores, salvo en $x=2$, donde la segunda está definida a diferencia de la primera. Como el límite de $g$ existe, aplicamos el teorema $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4 } {x-2 } =\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x+2 \right )=4$$ El último se calcula por sustitución directa, por ser $g$ un polinomio.
  Tabla de valores de f para algunos valores de x aproximándose a 2.

x acencándose por la izquierda                   x acencándose por la derecha


Gráfica de $f(x)= \frac{x^2-4 } {x-2 } $


Aun cuando la función no está definida en $ x=2,$ los valores de la función se acercan a $4$ conforme $x$ se acerca más y más a $2.$







Ya hemos mencionado que un límite con forma indeterminada puede o no existir. Los siguientes son ejemplos triviales de formas indeterminadas que muestran distintas situaciones, resueltas las indeterminaciones al buscar funciones que toman los mismos valores salvo en el punto. $$ \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ 5x} { x } &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 }5=5\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x} { x } &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 }5=1\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x} { x^3} &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{ 1} { x^2} =+\infty\\ \end{array} $$
En lo que sigue describiremos distintas formas indeterminadas 0/0 y las sugerencias para resolverlAs.









El primer límite es igual a 5. Si en la definición de la función sustituimos 5 por otro valor, concluimos que podemos encontrar un límite indeterminado 0/0 que exista y tomando un valor dado.
Límite de cociente de polinomios
Formas indeterminadas cero/cero

Factorizar, simplificar, otra vez una forma indeterminada,
volver a factorizar y simplificar


A veces hay que factorizar más de una vez para resolver la indeterminación.

Sabemos que $(x-a)$ es un factor, esto te puede ayuda a encontrar la factorización


Observaciones
1
Al calcular límites es importante que identifiques la situación y apliques la recomendación

2 En el caso de tener un cociente de polinomios, con solo sustituir$x$ por $a$ en el numerador y denominador, nos podemos dar cuenta si tenemos una forma indeterminada 0/0, pues los límites de polinomios se obtienen por sustitución directa.

Ejercicios
2)
Calcular los siguientes límites \begin{array}{ll} 2.1) \ \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^3+ x^2-x-1} { 2x^2+x-1 } \; &2.2)\ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x^3-x^2-8x+12} { x^4-8x^2+16 } \end{array}

Forma indeterminada cero/cero
Numerador o denominador un binomio con raíces cuadradas
Racionalizar y cancelar

Cuando se tiene una forma indeterminada del tipo 0/0 en que la función es un cociente donde el numerador o el denominador es un binomio, es decir una suma de dos términos, con uno de los dos términos con raíces cuadradas, la recomendación es

Multiplicar por uno, ese uno escrito como la fracción con numerador y denominador igual a la conjugada del binomio con radicales.

Efectuar la multiplicación de fracciones.

Desarrollar el producto de la suma por su diferencia.

Luego, se busca cancelar factores que se anulen en $a$ del numerador y del denominador.

Al cancelar, verifica que no te quedó una forma indeterminada. Entonces pasas a evaluar el límite

Los productos que no sean el producto de los binomios conjugados no conviene desarrollarlos


Los procedimientos que se describen hacen manipulaciones algebraicas como factorizaciones, racionalización, simplificación, de tal manera que las nuevas funciones tomen los mismos valores, salvo en $a,$ a fin que podamos a estas últimas aplicarles las propiedades de límites
Forma indeterminada cero/cero
Numerador o denominador un binomio con raíces cuadradas
Racionalizar, factorizar y cancelar


La recomendación es

Multiplicar todo el numerador y todo el denominador por la conjugada del binomio con radicales.

Luego se busca cancelar un factor del numerador con otro idéntido del denominador que se anulen en $a$.


Normalmente, buscamos el factor $(x-a)$. Si no lo tienes en el numerador o en el denominador entonces factorizas. Al cancelar estos factores eliminas la indeterminación.

Los procedimientos que se describen hacen manipulaciones algebraicas como factorizaciones, racionalización, simplificación, de tal manera que las nuevas funciones tomen los mismos valores, salvo en $a,$ a fin que podamos a estas últimas aplicarles las propiedades de límites

Ejercicios
3)
Evaluar los siguientes límites \begin{array}{ll} 3.1) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{ x } \; &3.2)\ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{ x^2-9}{- 3\sqrt{x-2}+x} \\ 3.3) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x } {x+2\sqrt{x} } \; &3.4)\ \lim_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x-1}-2 }{\sqrt{2}+ \sqrt{x-3} } \end{array}
4) Verdadero o Falso, justifique

4.1) El valor del límite dado es igual a 0/0 $$\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ 3-x } $$
4.1) Falso
El límite es igual a -1.
Para determinarlo se factoriza -1 en el denominador y se cancela
$$\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ 3-x }= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ -(-3+x) } = \lim_{x\rightarrow 0}-1=-1 $$



4.2) Correcto o incorrecto \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1-\sqrt{x} } &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ (1-\sqrt{x} )(1+\sqrt{x} ) }\\ &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1^2-\left ( \sqrt{x} \right )^2 }\\ &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1-x }\\ &=1 \end{array}
4.2) Incorrecto
Faltó multiplicar todo el numerador por la conjugada



4.3) Para evaluar el límite dado podemos de una vez reemplazar $x$ por 2 $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x-1}{ x^3-1 } $$
4.3) Verdadero
Se tiene una función racional definida en $x=2.$
El denominador no se anula en 2.
Por tanto, el límite se obtiene por sustitución directa $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x-1}{ x^3-1 }=\frac{2^3-2\cdot 2-1}{ 2^3-1 } = \frac{3}{ 7 } $$ El límite no es una forma indeterminada del tipo 0/0



4.4)
\begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)}{ x^2-2(x-2)) } &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\colorcancel{red}{(x-2)} }{ x^2-2 \colorcancel{red}{(x-2)} } \\ &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x^2-2 }\\ &= \frac{1}{ 2^2-2 }= \frac{1}{ 2 }\\ \end{array}
4.4) Incorrecto
$(x-2)$ no es un factor en el denominador. No vale la cancelación. El límite se obtiene por sustitución directa, pues tenemos una función racional definida en 2 $$ \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)}{ x^2-2(x-2)) } &= \frac{{(2-2)}}{ 2^2-2 {(2-2)} } \\ &= \frac{0 }{4 } =0 \end{array}$$ El límite no es una forma indeterminada del tipo 0/0





Ejemplo Calcular $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)}{\sqrt{x} -\sqrt{3} }$$ Solución Se tiene una forma indeterminada del tipo 0/0 pues $$ \lim_{x\rightarrow 3}\left ( {{x} -{3} } \right )=0 \ \text { y } \ \lim_{x\rightarrow 3}\left ( {\sqrt{x} -\sqrt{3} } \right )=0 $$ En este caso que se presenta un binomio con radicales en el denominador, raíces cuadradas, racionalizamos el denominador

¿Qué se hizo?



¿Qué se hizo?

    $\qquad \quad \quad \; = \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3) \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right )} {\left (\sqrt{x} \right )^2 -\left ( \sqrt{3} \right )^2}$   ¿Qué se hizo?

                      $= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3) \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right )} {x -3}$    Comentario

                      $= \lim_{x\rightarrow 3} \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right ) $    ¿Qué se hizo?

                      $= \left ( \sqrt{3}+ \sqrt{3} \right )= 2 \sqrt{3} $    ¿?
      Formas indeterminadas del tipo 0/0
Cálculo de límites usando procedimientos algebraicos