Límite notable para indeterminaciones 1 elevado a infinito

Otra forma de de hacer el cambio de variable

Esta propiedad sobre el límite de una función elevada a otra función puede ser
demostrada usando las leyes ya enunciadas de límites y la continuidad de las
funciones exponencial y logarítmica.

Ejemplo
⋄ Los limites de la base y del exponente existen.
⋄ El limite de la base es mayor que 0

Se aplica de una vez el teorema $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{x+1}{x+2} \right )^{x+2}= \left (\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+1}{x+2} \right )^{\lim_{x\rightarrow 0}(x+2)}=\left ( \frac{1}{2} \right )^2 $$ No se tiene una forma indeterminada en el limite

Ejemplo $$ \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+2x^3\right)^{\frac{1}{2x^3}}=e $$ $$ \text{pues }\ {2x^3} \rightarrow 0 \; \text{ cuando } \; x \rightarrow 0 $$

RESPUESTAS

Video
DETERMINACIÓN DE UN LÍMITE CON FORMA
INDETERMINADA UNO ELEVADO A INFINITO USANDO
EL LÍMITE ESPECIAL
En el video se describe el comportamiento de la función $ f(x)=(1+x)^{1/x} $ cuando $x$ tiende a cero. El límite de esta función es una forma indeterminada uno al infinito, y puede ser demostrado que su valor es un número irracional, conocido como el número $e$ Conociendo este resultado se calculan dos límites, que se reducen a este límite, usando las propiedades de los límites. En uno de los ejemplos se propone un cambio de variable. Los ejemplos son desarrollados justicando cada paso

Ejercicios
1) Encontrar cada límite. Justifique paso a paso, señalando las propiedades que está usando \begin{array}{ll} 1.1) \ \lim_{x\rightarrow 0} \left ( 1+x \right )^{\frac{ 3}{2x}-1} \; &1.2)\ \lim_{x\rightarrow 0} \left ( 1+\frac{ x}{2} \right )^{\frac{ 3}{x}} \; \\ 1.3) \ \lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{ \left ( 1-\frac{ x^2}{2} \right )^{\frac{ 5}{x^2}} } \; \; \end{array}

Podemos ahorrarnos el cambio de variable y ver que si $$g\left ( x \right )\rightarrow 0 \text{ cuando } x \rightarrow a$$ entonces $$ \lim_{x\rightarrow a} \left ( 1+g(x) \right )^{\frac{ 1}{g(x)}}=e$$

¿Cómo encontrar $ \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}\cdot \frac{x+1}{x+2} }?$

Como es una indeterminación del tipo uno elevado a infinito, intentaremos expresar el límite en términos del límite notable, aplicamos la propiedad algebraica de la potencia de una potencia: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \left( \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} \right)^ { \frac{x+1}{x+2} } $$ Fíjate que en el límite de de arriba, tanto en la base como en el exponente, $^{ (x+1)/(x+2)}$, está la variable. No podemos aplicar la propiedad del límite de una potencia, tampoco tenemos una función exponencial para aplicar teoremas de continuidad. Para encontrar el último límite aplicaremos el siguiente

Teorema Considere dos funciones $f$ y $g$. Si $$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) \ \text{ y } \ \lim_{x\rightarrow a} g(x) \text{ existen } $$ y $$ \lim_{x\rightarrow a} f(x)>0,$$ entonces $$ \lim_{x\rightarrow a} \left ( f(x)\right ) ^{ g(x)} = \left ( \lim_{x\rightarrow a} \left ( f(x)\right ) \right )^{\lim_{x\rightarrow a} g(x)} $$

Recuerda siempre verificar si tienes o no
la indeterminación uno elevado a infinito

ANIMACIÓN
Al lado mostramos un ejemplo de cómo encontrar un límite con la forma indeterminada uno elevado a infinito. El problema que se presenta es que no se tiene la forma $1+h(x)$ en la base. Entonces se reescribe la base, sumando y restando uno para no alterar la expresión.

Ejercicios
Hallar cada límite. Justifique cada paso, indicando la(s) propiedad(es) y resultados que está usando \begin{array}{ll} 2.1) \ \lim_{x\rightarrow 0} \left ( 1-\frac{ x}{x+2} \right )^{\frac{ 2}{x}} \\ 2.2)\ \lim_{x\rightarrow 0} \left ( \frac{ x+1}{2x+1} \right )^{\frac{ 3}{x+1}} \; \\ 2.3) \ \lim_{x\rightarrow 0} { \left ( \frac{ x-2}{3x-2} \right )^{\frac{ 5}{x}} } \end{array} Respuestas

Aplicando el teorema encontramos el límite propuesto