SUMA Y RESTA DE
NÚMEROS COMPLEJOS


La suma o adición de números complejos dados en forma binómica

La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real, la suma de las partes reales y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. En fórmulas $$(a+bi ) + ( c+di ) =(a+c )+ (b+d)i $$


Ejemplo Sumar $(4+5i) $ y $ (4+6i)$
Solución
$(4+5i) + (4+6i)= (4+4)+(5+6)i$
      $=8+11i$



Abajo varios ejercicios resueltos que ilustran como solventar algunas dificultades en la adición de números complejos.

Ejercicio Calcular $(2+i) + (1+3i)$    
Solución
Observe que la parte imaginaria de $2+i$ es 1.
Así tenemos $$(2+i) + (5+3i) = (2+5)+(1+3)i$$
En definitiva, $$(2+i) + (5+3i) = 7+4i$$


Ejercicio Calcular $(1-3i) + (2i)$    
Solución Observe que la parte imaginaria de $1-3i $ en $-3$

La parte real del segundo sumando, $2$ es 0. Así

$(1-3i) + (2i)= (1+0)+(-3+2)i$
Se efectúa las sumas planteadas en la parte real y en la parte imaginaria.
\begin{array}{ll} (1-3i) + (2i) & = & 1+(-1)i \\ & = &1-i \end{array}



Tenga presente la definición de la raíz cuadrada de un número negativo $$\sqrt{-p}=\sqrt{p}i$$

Ejercicio Efectúe la suma indicada $$ (2+ \sqrt{-4}) + (3+ \sqrt{-16}) $$
Solución Aplicamos la definición de la raíz cuadrada de un número negativo

$ (2+ \sqrt{-4}) + (3+ \sqrt{-16}) $ $\; = (2+ \sqrt{4}i) + (3+ \sqrt{16}i) $

Quedó planteada una suma de números complejos en su forma binómica. Antes de proceder a hacer la suma, simplificamos los radicales

$ (2+ \sqrt{-4}) + (3+ \sqrt{-16}) $ $\; = (2+ 2i) + (3+ 4i) $

Sumamos
    $ = (2+3)+(2+4)i$

    $ = 5+6i$




Podemos sumar de manera rápida, como lo hacíamos con los polinomios, interpretando las partes reales como términos semejantes y las partes imaginarias similar.

Así para efectuar la suma $ (3+4i)+(-2+5i)$ primero quitamos los paréntesis y asociamos las partes reales y las partes imaginarias mentalmente, sumándolas algebraicamente $$\underset{ {\color{Orange} r} }{3} + \underset{ {\color{Blue} i} }{4}i- \underset{ {\color{Orange} r} }{2} + \underset{ {\color{Blue} i} }{5}i= \underset{ {\color{Orange} r} }{1} + \underset{ {\color{Blue} i} }{9}i $$


El elemento neutro de la suma y el opuesto o inverso aditivo


El elemento neutro de la suma en números complejos es $0+0i$,
abreviado por $0$
Efectivamente,   $(a+bi)+(0+0i)=a+bi$

El opuesto o inverso aditivo de un número complejo $a+bi$ es
$$ - (a+bi)= -a-bi$$ El opuesto de $4-3i$ es $-4+3i$. Verifica que su suma es igual a $0$




La resta de números complejos


Formalmente la resta $z_1-z_2$ es definida como la suma de $z_1$ con el opuesto de $z_2$
Puedes ver los detalles para verificar que
$(a+bi)-(c+di)= (a-c )+ (b-d)i $
Aplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo

$(a+bi)-(c+di)$ $= (a+bi)+ (-(c+di))$

$ = (a+bi)+ (-c-di)$         Opuesto de $(c+di) $

$ = (a-c)+ (b-d)i$             Suma de complejos




La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que

su parte real es la diferencia de las partes reales

y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias







Ejemplo Realice la resta $(3-2i)-(4+6i) $.
Solución
$ (3-2i)-(4+6i) $ $= (3-4)+(-2-6)i $
$=-1-8i $




Podemos también proceder como lo hacíamos con polinomios: eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes

Ejemplo Efectuar la resta con el método rápido $$(3+2i)-(5-6i) $$
Primero eliminamos paréntesis \begin{array}{cl} (3+2i)-(5-6i) &=& \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{3}+\underset{{\color{Blue} i} }{ 2 }i \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{-5}+\underset{{\color{Blue} i} }{ 6 }i \\ &=& \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{-2}+\underset{{\color{Blue} i} }{ 8 }i \\ \end{array} En la última línea se sumaron las partes reales y las partes imaginarias, los términos semejantes.





Sumas y restas combinadas


Con este método podemos efectuar rápidamente sumas y restas combinadas entre números complejos, reduciéndola a su forma binómica,

Ejemplo Expresar en forma binómica o estándar $$(4+i)-(3-2i)+(7-3i) $$
Primero eliminamos paréntesis

$ (4+i)-(3-2i)+(7-3i)$

$= \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{4}+\underset{{\color{Blue} i} }{ i }- \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{3}+\underset{{\color{Blue} i} }{ 2 }i + \underset{ {\color{DarkOrange} r} }{7}-\underset{{\color{Blue} i} }{ 3 }i $

$ =\underset{ {\color{DarkOrange} r} }{8}+\underset{{\color{Blue} i} }{ 0 }i=8 $







Suma y resta de números complejos dados en su forma polar

No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la forma polar.


Ejemplo Encuentre $z_1+ z_2$ . Exprese el resultado en forma polar. $$z_1= 6_{30º} \qquad\qquad z_2=2_{-30º}\ $$
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación triginométrica $$z_1= 6_{30º} =6\left( cos(30º)+ sen(30º) i\right )\\ =3\sqrt{3}+3 i$$ $ z_2=2_{-30º}$   $ = 3\left( cos(-30º)+ sen(-30º) i\right )$

$=\sqrt{3}-1 i$


Entonces sumamos en forma binómica $$ = 4\sqrt{3}-2 i$$ Si se requiere pasamos a la forma polar.
El modulo $|z_1+z_2|=\sqrt{13}$,
El argumento, $\theta =atan (\frac{2}{4\sqrt{3}})$

En definitiva, $$z_1+z_2= \sqrt{13}_{ atan (\frac{1}{2\sqrt{3}} ) }$$








Ejercicios Efectúa las siguientes sumas o restas. Escribe el resultado en forma binómica.
a) $\ (1+3\,i)+ (2-3\,i) $
b) $ \ (5+i)-(5+3\,i) $
c) $ \ (\frac{3}{2}i)+(\frac{1}{2}+5\,i) $
d) $ \ (2\,i+\frac{1}{3} ) - (-3\,i-\frac{1}{3}) $
e) $ \ (2+\sqrt{3}\,i)- (3-\sqrt{3}\,i) $
f) $ \ (\sqrt{27}+\sqrt{-18})-(\sqrt{-2}+\sqrt{3})$
a) $ \ 3 $
b) $\ -2\,i $
c) $\ \frac{1}{2}+ \frac{13}{2}\,i $
d) $\ \frac{2}{3}+5\,i $
e) $\ -1+2 \sqrt{3}\,i $
f) $ \ 2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2} i $



Ejercicios Realiza las siguientes operaciones.
Escribe en forma estándar (binómica) el resultado.

$ a)\ (2-3i)-(-3+5i)-(8-6i) $

$b) \ (1-\sqrt{-2} )+(-3+\sqrt{-18} )-(6-2\sqrt{-8} ) $

\begin{array}{lll} & a)\ -3-2i \qquad & b) \ -8+8\sqrt{2}i \end{array}