MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
PROBLEMAS




Video 1
MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
EJEMPLOS

Se establece cuándo una función cuadrática tiene un máximo o un mínimo. Se usa la fórmula del vértice para conseguir el mayor o menor valor de la función. La discusión se basa en la gráfica de la función: la parábola. Se muestran dos ejemplos que explican como determinar el máximo o mínimo de la función dada y dónde ocurre o se alcanza ese máximo.

Ejercicios para después del video
Hallar el máximo o mínimo para cada una de las funciones dadas
$ a) \ f(x)=-3x^2+5; $
$ b) \ g(x)=\frac{1}{2} x^2-4x+3; $
$ c) \ h(x)= 2\left (x+4 \right ) \left (x+6 \right ) $
$d) \ F(x)=- \left (x-3 \right )^2+2 $

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Respuesta
a) El valor máximo es 5.
Respuesta
b) El valor mínimo es $-5$.
Respuesta
c) El valor mínimo es $-2$.
Respuesta
d) El valor máximo es $2.$




MÉTODOS PARA ENCONTRAR EL MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Hay diversos métodos para encontrar los extremos de una función cuadrática. Algunos de los métodos asumen que la gráfica de la función es una parábola y el máximo o mínimo se alcanza en el vértice.

Método 1
Usando la fórmula del vértice y tomando en cuenta el signo de $a$.

El máximo o mínimo se alcanza en $$x_v=-\frac{b}{2a}$$ El valor máximo o mínimo de $f$ se obtiene evaluando la función en $x_v$, $f(x_v)$

$\diamond$ Si $ a$ es positiva la función tiene un mínimo en $x_v$
$\diamond$ Si $a$ es negativa la función tiene un máximo en $x_v$.

Podemos recordar este resultado viendo hacia donde abre la parábola. Ver ejemplo y deducción de la fórmula del vértice

Llevando la fórmula que define la función a la forma $f(x)=a(x-h)^2+k$
Entonces se gráfica la función por tranformaciones de gráfica de funciones. De la gráfica se concluirá si hay máximo o mínimo. Este valor es $k$ y se alcanza en $x=h.$ Ver ejemplo de cómo completar cuadrados y graficar.

Método 2
Llevando la fórmula que define la función a la forma $f(x)=a(x-h)^2+k$

Se asume, sin necesidad de graficar, que $(h,k)$ son las coordenadas del vértice de la parábola. Viendo el signo de $a$ se concluye si la función alcanza un mínimo o un máximo.

Si $a$ es positivo, la función alzanza un mínimo en $x=h$. El valor mínimo de $f$ es $k$.
Si $a$ es negativo, la función alzanza un máximo en $x=h$. El valor máximo de $f$ es $k$.


Método 3
Llevando la fórmula que define la función a la forma $f(x)=a(x-d)(x-e)$

Se lleva a la forma factorizada. $d$ y $e$ son las intersecciones de la parábola en el eje $x$. Usando el hecho que la gráfica es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice, los cortes con los ejes son simétricos uno del otro con respecto al eje de simetría. La coordenada $x$ del vértice se consigue promediando las coordenadas $x$ de los cortes, $x_v=\frac{e+d}{2}$. El valor máximo o mínimo de la función se obtiene evaluando la función en la coordenada $x$ del vértice, $f(\frac{e+d}{2})$. Si $a$ es positiva la función tiene un mínimo, si es negativa la función alcanza un máximo.

Pasa el puntero sobre la imagen para ver detalles.




Método 4
Usando Cálculo Diferencial para obtener los máximos o mínimos relativos de una función.

Como la función es derivable, se consigue los puntos críticos, $f´(x)=0$. En este caso se encontrará uno solo. Se usa el criterio de la primera o segunda derivada para clasificar el punto crítico como máximo o mínimo relativo. Se concluye que es absoluto porque hay un sólo extremo relativo.



Video 2
Un primer problema de optimización
Aplicaciones de la función cuadrática

Se resuelve un problema de optimización de la vida real.
Se empieza formulando el problema, planteandose el objetivo. Una vez formulado el problema se pasa a resolverlo con las técnicas conocidas. El problema es el clásico de conseguir las dimensiones del corral con mayor área sujeto a la condición de usar una cantidad dada de cerca.

Se sugieren pasos a tomar en cuenta a la hora de resolver problemas de máximos y mínimos.


a) Un granjero dispone de 1.000 metros de cerca para construir tres corrales rectángulares, paralelos e idénticos, como muestra el dibujo. ¿Cuál es la mayor área total que puede cercar? ¿Cuáles son las dimensiones de cada corral?
                 


b) Un distribuidor ha determinado que en promedio vende 300 chaquetas de cuero al mes si el precio unitario es de 100UM. Ha estimado que por cada disminución de 5 UM en el precio, las ventas aumentarán en 25 chaquetas al mes. ¿Qué precio hay que colocar a cada chaqueta para obtener el máximo ingreso mensual?

Respuestas
$a)\; 93750 m^2$ es la mayor área que puede cercar.
Las dimensiones de cada corral son $125 m\times 250 m $
Respuestas

Debe colocar un precio de 80UM para obtener el mayor ingreso.