MODELOS MATEMÁTICOS
USANDO FUNCIONES

Las funciones son muy utilizadas para modelar matemáticamente situaciones y problemas de la vida real. Para conseguir las funciones primero se establecen las variables, luego se procede a traducir del lenguaje común al lenguaje matemático, para finalmente expresar la variable dependiente en términos o en función de la variable independiente.

Mostramos varios ejemplo
Tubería a emplear
En este primer ejemplo se usa el Teorema de Pitágoras para establecer la función pedida. Se determina el dominio natural de la función tomando en cuenta las restricciones naturales del problema

Ingreso del museo
El problema trata sobre un museo que establece una política de descuento para grupos con más de 30 personas.
Se determina el ingreso del museo por recibir un grupo grande como función del número de personas que excedan a 30 en el grupo.

El área de un rectángulo
Claramente el área de un rectángulo depende del largo y del ancho del mismo. En el problema planteado se tiene una condición que permite establecer una ecuación entre el largo y el ancho. Pudiendo entonces expresarse el área en términos de una sola

Tarifa de taxis
Se tiene una ciudad donde la tarifa de los taxis depende sólo del número de los kilómetros recorridos. En la primera parte del problema se pide, de acuerdo al enunciado del problema, justificar porque se tiene un modelo lineal. Se usa los conocimientos de rectas para establecer la función tarifa.

Función tarifa modelada con una función por partes
En muchas ocasiones para deficir la función tarifa de un determinado servicio se necesita más de una fórmula. En estos caso la función a obtener de una función definida a trozos, también conocida por partes.

Ejemplo 1 Se quiere tender dos tuberías que salgan desde un mismo punto de la orilla de un lago y lleguen 10 km arriba, a dos puntos diferentes, A y B de una ciudad, los cuales están 5 km distantes uno del otro. Suponga que la línea que une estos puntos corre paralela al lago. Determine los kilómetros totales de tubería a emplear como función de la distancia que hay entre la proyección de punto A al otro extremo del lago y el punto desde el cual sale la tubería $x$.

Solución: Por Pitágoras podemos ver que la distancia, en kilómetros, desde el punto $x $al punto A es: $$ \sqrt{x^2+10^2} $$ y la distancia desde x a B es $$ \sqrt{(5-x)^2+10^2} $$ La función buscada es la suma de estas dos distancias, esta función la llamaremos $f$. Esto es $$ f (x) = \sqrt{x^2+10^2} +\sqrt{(5-x)^2+10^2} $$ Tenemos ya la fórmula que define la función. Para que la función quede completamente definida falta establecer el dominio. El dominio de las funciones que surgen del modelaje no se establece a través de la fórmula sino mediante las restricciones naturales del problema. Esto es lo que llamaremos el dominio natural. Es claro que $x$ debe ser mayor o igual a $0$, y a su vez $5-x $ también, pues es una longitud como se puede apreciar en el dibujo. En definitiva Dom $ f$ =[0,5] .

Ejemplo 2
Un museo tiene como política admitir grupos grandes de 30 hasta 80 personas con la siguiente política de rebajas: La tarifa por persona es de 160UM menos 2 UM por cada persona que pase de las 30. Exprese el ingreso del museo, por recibir un grupo de descuento, como función del número de personas del grupo por encima de 30.

Solución
Solución: En este caso la variable independiente es
$x$= números de personas por encima de $30$
Así,
Número de personas del grupo=$x+30$
y
El precio de entrada por persona =$160-2x$

El ingreso por recibir un grupo de descuento viene dado por

Ingreso=(número de personas en el grupo)(Tarifa por persona)

De aquí
$I(x) = (x + 30)(160 - 2x)$
Tal como se define la función, el dominio de la función está formado por el conjunto de los números enteros de 0 a 50, sin embargo muchas veces, a efectos de emplear el cálculo en problemas más avanzados, se considera el dominio como el intervalo $I=(0,50]. $

Ejemplo 3 Se quiere cercar un terreno rectangular con 200 metros de malla. Si x y y son las dimensiones de los lados: a) Exprese el área como función de x .b) Diga cuál es el dominio natural de esta función, tomando en consideración las restricciones físicas.

Solución
a) El área está dada por
$ A= x \times y $
En este caso la función área viene expresada en términos de las dos variable $x$ y $y$.

Sin embargo, podemos sustituir $y$ por una expresión que depende de $x$, debido a la relación entre $x$, y $y$ el perímetro.

El perímetro del rectángulo está dado por $x + x + y + y$ y debe ser igual a $200$.

$x + x + y +y = 200$
$ 2x +2y = 200$

De aquí podemos expresar y en función de $x$, despejando
$y=\frac{200-2x}{2}$
Sustituyendo $y$ en el área, tenemos
$ A = x \times (100- x)$.
Observe que hemos denotado por $A$ la función área, en las aplicaciones es frecuente denotar la función por la primera letra de la cantidad que representa. Escribimos la función de arriba en notación funcional.

$ A(x) = x (100 - x)$

b) ) Es claro que $x$ tiene que ser mayor que 0. Pero también $x$ deberá ser menor que 100. Así,
Dom $A=(0,100)$.

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Ejemplo 4 La tarifa de taxis en una ciudad estipula que se cobre por cada kilómetro recorrido la misma cantidad más el banderazo, esto es, en el momento en que el taxista es contratado se añade un importe fijo a la tarifa, independiente a los kilómetros a recorrer. Un día, una persona contrató un taxi, recorrió 3 km y le cobró 15UM. Otro día tomó otro taxi que le cobró 25UM por una carrera de 8km. a) Justifique que existe una relación lineal entre $x$, número de kilómetros recorridos y $T$, la tarifa a cobrar. b) Exprese la tarifa como función del tiempo

Solución
Puntualizamos las variables, independiente y dependiente.

Es claro que la variable independiente es:
$x$ = número de kilómetros recorridos.

La variable dependiente es:
$T$ = Tarifa a cobrar.

a) Como la tarifa aumenta la misma cantidad cada vez que se recorre 1 kilómetro adicional, la ecuación que relaciona las dos variables es la de una recta y la pendiente representa el valor de un kilómetro recorrido. La tarifa cambia a razón constante con respecto a $x$.

b) Primero determinamos la ecuación de la recta que relaciona $T$ con $x$. Tenemos que determinar una ecuación de la recta que cumple con la información dada.
La información aportada por el problema se puede traducir en dos puntos, $(x,T)$.
Ellos son $(3,15)$ y $(8,25)$.
Observe que los valores de la variable dependiente, $T$, es la segunda coordenada. Podemos determinar la ecuación de la recta, determinando primero la pendiente:

$m=\frac{T_2-T_1}{x_2-x_1}$

$m=\frac{25-15}{8-3}=\frac{10}{5}=2$

Ahora con un punto, por ejemplo $(3,15)$, y la pendiente conseguimos la ecuación:
$T-T_0=m(x-x_0)$

Sustituimos

$T -15 = 2(x - 3)$

Como nos piden la tarifa en función de los kilómetros recorridos, despejamos

$T = 2x+ 9 $

Usamos la notación funcional para enfatizar que $T$ es función de $x$:

$T(x) = 2x+ 9 $.

Es claro que

$Dom T=[0,\infty)$

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Una aplicación de la función definida por partes o tramos En el video se presenta un ejemplo de la vida real en que se tiene que modelar usando una función definida por partes. Las tarifas de muchos servicios se tienen que usar más de una fórmula.