Gráfica de una función


La gráfica de una función ayuda a interpretar mejor las relaciones entre las variables. En esta página bosquejaremos gráficas de funciones, obteniendo algunos puntos mediante una tabla de valores, representándolos en el plano y uniendo los puntos con un trazo suave.





GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Se presenta en el video la definición de la gráfica de una función. La gráfica de una función no es otra cosa que la gráfica de la ecuación $y=f (x).$ Entre todas las técnicas existentes para para graficar, en el video se recordará la técnica punto a punto. Se insistirá en la necesidad de conocer el dominio de la función como primer paso para obtener la gráfica de la función con esta técnica. Se obtendrá la gráfica de la función raíz de $x.$



Ejercicios para después del video
Grafique la función dada $$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$$





SIMETRÍAS
FUNCIONES IMPARES Y PARES

Para graficar funciones es útil tomar en cuenta las posibles simetrías. Esto se determina estudiando si la función es par, impar o ninguna de las anteriores.

Definición
Una función es par si $f (-x)=x$ para todo $x$ perteneciente al Dominio de $f$ .
Una función es impar si $f (-x)=-x$ para todo $x$ perteneciente al Dominio de $f$


¿Cómo determinar si una función es par, impar o ninguna de las anteriores?
¿Qué tiene que ver la paridad con la simetría de la gráfica de la función?
¿Por qué es importante la simetría?
¿Cómo se puede presentar la definición de una función?   
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Ejercicio para después del video.- Resolver el ejercicio planteado en el video. Ejercicios
Para cada una de las funciones dadas, determine si son pares o impares o ninguna de las anteriores. Bosqueje la gráfica de cada función tomando en cuenta la simetría.
a) $ f(x)=x^2; \quad $ b) $f(x)=x^3$
   Respuestas




INTERSECCIONES CON LOS EJES

En el video se explica los conceptos de intersecciones con los ejes de la gráfica de una función, su importancia y como determinarlos.
Además, se presenta la definición de los ceros de una función.
Algunos ejemplos de obtención de las intersecciones son desarrollados.

Ejercicio para después del video Realice un bosquejo de la gráfica de la función $ f (x)= \frac{1}{x}$. Considere la simetría, estudiando si la funcion es par o impar. Encuentre el dominio de la función y las intersecciones con los ejes. Por último realice una tabla de valores.
Respuestas


Comentario Las funciones $ f(x)=x^ 2$, $f(x)=x^3$ y $ f (x)= \frac{1}{x}$. son algunas de las funciones que llamaremos elementales y sus gráficas las asumiremos conocidas.




INFORMACIONES A PARTIR DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
DETERMINACIÓN GEOMÉTRICA DEL DOMINIO Y RANGO

Valores de la función, dominio, rango son obtenidos a partir de la gráfica de la función. También se determina si una gráfica define o no una función usando la prueba de la recta vertical. En el video se explica cómo se determina el dominio de una función usando su gráfica.

Ejercicio para después del video Determine el dominio y el rango de cada una de las funciones dadas por su gráfica
Respuestas
a) $Dominio=(-\infty,-2)\cup [-1,1] \cup (2,\infty) $
$ Rango = \{-1\} \cup (1,\infty)$

b) $Dominio=(-\infty,2] \cup[3,\infty)$
$ Rango = (-\infty,-1] \cup (0,\infty)$




GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES

Se muestra un ejemplo de cómo obtener la gráfica de una función definida por partes, dando a lo largo del desarrollo comentarios y sugerencia de cómo graficar este tipo de funciones.
Algunos ejemplos de obtención de las intersecciones son desarrollados.



Resumen
Una función definida por partes se usa cuando se requiere más de una fórmula para definir completamente la función. La gráfica de este tipo de funciones se realiza en un mismo plano. Si conoce la gráfica de la ecuación de una de las partes puede hacer uso de ella para obtener el trozo de gráfica de ese intervalo, restringiendo la gráfica de la ecuación a la parte.

Si no reconoce alguna parte, entonces haga una tabla de valores de esa parte, que deberá incluir, de ser posible, los valores de los extremos, $x$, del intervalo. Si un extremo de un intervalo finito no está en la parte, dibujar un círculo agujereado en la representación del punto. Use flecha para indicar que la gráfica continua indefinidamente y el punto relleno o agujereado para indicar que la gráfica termina allí, alcanzándose ese valor o no.


Ejercicio para después del video
Realice un bosquejo de la gráfica de cada función. Determine el rango de cada función.
a) $g(x) = \left\{\begin{array}{c l} x + 1, &\text{ si } x >0\\ 2x, & \text{ si } x \lt -1\end{array}\right. \quad$

b) $f(x) = \left\{\begin{array}{c l} x^2, &\text{ si } 0\leq x \lt 2 \\ x, & \text{ si } 2\leq x \lt 4 \\ 2 \sqrt{x}, & \text{ si } x \geq 4 \end{array}\right. \quad$


Comentario Observe que en a) los trozos de gráfica corresponden a semirrectas.
Respuestas

Rango $g= (-\infty,-2)\cup(1,\infty)$        Rango $f=[0,\infty)$