Cómo despejar una variable en una fórmula

Distintas ecuaciones

En muchas disciplinas como Física, Química, Economía se tienen fórmulas en que se requiere despejar una variable También en la propia Matemática se necesita en el desarrollo de algunos procedimientos.
Hay que tener presente en que hay ecuaciones en que no se puede despejar una variable. Al final te señalamos algunas ecuaciones en que no es posible despejar.
No se tiene un procedimiento general para la gran variadad de ecuaciones en que se puede despejar la variable. Sin embargo, podemos dar ciertas recomendaciones de acuerdo al comportamiento de la variable a despejar en la ecuación.
Primero trataremos ecuaciones en que la variable se puede despejar y indicaremos pasos para conseguir el despeje de acuerdo al comportamiento que juega la variable dentro de la ecuación. En general, trataremos ecuaciones con varias variables, muchas de las recomendaciones son las mismas que las dadas para resolver una ecuación en una sola variable, considerando las demás variables como constantes.


Despejar una variable en una fórmula o ecuación es el proceso que lleva a encontrar una ecuación equivalente en que la variable esté aislada en un miembro de la ecuación.

Al despejar una variable en una ecuación conseguimos una fórmula en que la variable está expresada en términos de las otras variables.


Vamos primero a considerar ecuaciones en que la variables de interés está de manera lineal en la ecuación, cuando tratamos a las demás variables como constantes.

La ecuación $$xy-\dfrac{y}{6}=\dfrac{x}{3y}-a$$ es lineal en $x,$ tratando la otra variable como constante. La ecuación es no lineal en $y,$ pues está en el denominador.

Ejercicios
Indique que variables hacen que la ecuación sea lineal cuando las otras se consideran constantes. Diga cuáles hacen que la ecuación sea no lineal, justifique.
1) $d=V_0+\dfrac{at^2}{2} $
2) $2y-\sqrt{2}=\sqrt{x+4} $
3) $2z-5=4e^{2x+5} $

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1) Lineal en $d,$ tratando las otras variables como constantes.
También son lineales $V_0$ y $a.$
No lineal en $t,$ está elevada al cuadrado.

2) Lineal en $y,$ tratando la otra variable como constante.
No lineal en $x,$ está en el radicando.

3) Lineal en $z,$ tratando la otra variable como constante.
No lineal en $x,$ está en el exponente.

Cuando hablamos de resolver una ecuación nos referimos en general a ecuaciones en una sola variable.
Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

No toda ecuación se resuelve despejando.






ANIMACIÓN 1
Ecuaciones lineales en la variable a despejar
Variable no repetida.
Sin paréntesis

En qué consiste la transposición de términos


Ejercicios
Despejar la variable indicada en cada ecuación.
1) $d=V_0+\dfrac{at^2}{2},\qquad a $
2) $V=\pi h r^2,\qquad h $

1.1) Ejercicio resuelto

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Respuesta    1.2) $ h= \dfrac{V}{\pi r^2}$;




Despeje en ecuaciones lineales en la variable a despejar
Variable repetida
Sin paréntesis



Pasos sugeridos: Primero Agrupar los términos en la variable a despejar en un miembro de la ecuación. En el otro miembro quedan los términos sin la variable.
Segundo Sacar factor común la variable
Tercero Pasar dividiendo el factor de la variable.



Despeje en ecuaciones lineales en la variable a despejar Animación

Se muestra cómo despejar la variable cuando ella está dos o más veces en la ecuación, trataremos en principio el caso sin paréntesis.
En el primer ejemplo los coeficientes en la variable son numéricos, en el segundo ejemplo la variable está siendo multiplicada por otras variables.



Ejercicios
Exprese la variable específicada en términos de las otras variables


Respuestas



Ecuación con paréntesis y fracciones
Lineal en la variable de interés

Para el despeje en ecuaciones con paréntesis y fracciones, lineales en la variable de interés, se aconsejan pasos similares a los indicados para resolver ecuaciones de primer grado. Mostramos un ejemplo resuelto paso a paso siguiendo el orden recomendado.



Ejemplo Despejar $x$ en
$$xy-\dfrac{y}{6}=\dfrac{x}{3y}-a$$
Solución
La ecuación es lineal en $x.$ Seguimos los pasos sugeridos.

Haz clic para ver el desarrollo del paso.

Si hay denominadores, multiplicar por el mcm de los denominadores a fin de eliminarlos.

Eliminar los paréntesis donde está la variable a despejar, usando propiedades algebraicas.

Pasar todos los términos con la variable a despejar en un miembro.
Sacar factor común la variable a despejar.

Pasar a dividir el factor de la variable al otro miembro.



Recuerde que son tan solo recomendaciones que seguidas paso a paso consigue el despeje de la variable deseada. Sin embargo, hay ecuaciones en que se encuentra el despeje mas rápido sin seguir estos pasos, como el que ilustramos abajo


Ejemplo, no hace falta seguir los pasos
Despejar F en $$C=\frac{5}{9} (F-32) $$ Solución
Nos podemos saltar el paso de los paréntesis al observar que la fracción está multiplicando todo el resto del lado derecho, pasa a dividir al otro miembro.
$$\frac{9C}{5}=F-32 $$ $$F=\frac{9C}{5}+32 $$

Ecuaciones no lineales


Frente a la gran variadad es imposible dar un método único para despejar en una ecuación no lineal. Sin embargo, la primera posibilidad que conviene examinar es ver si la variable está sólo dentro de un operador, entonces intentar llevarla a la forma:

F(expresión en la variable)=F(otra expresión en la variable)
o
F(expresión en la variable)=expresión sin la variable

F puede ser el operador logarítmo, exponencial, raíz o cualquier otro operador que resulte, como función, uno a uno (biunívoco).

A veces se necesitan aplicar las propiedades de F o identidades que involucren F para llevarlo a alguna de estas formas.

Si se llevó a la primera forma entonces se igualan las expresiones de los argumentos de F para entonces despejar la variable en la ecuación resultante.

Si se llevó a la segunda forma entonces se aplica la operación inversa de F, pasando a despejar la variable en la ecuación resultante.


Ejemplo
La ecuación $$2^{x+y}=2^{3y-5}$$ ya está en la primera forma, ¿cómo despejar $x,$ en este tipo de ecuación rápidamente?
Usamos el hecho que la función exponencial es uno a uno o biunívoca, para igualar los exponentes $$x+y = 3y-5,$$ Entonces despejar la variable en la ecuación resultante. Es lineal en la variable, transponemos términos y simplificamos $$x = 2y - 5 $$



Ejemplo
En la ecuación $$y=\sqrt[3]{x-2}$$ se quiere despejar $x.$ El método ilustra un procedimiento general para muchas otras ecuaciones.
Ya está en la forma

Expresión sin $x$ = F(Expresión con $x$ )

Tomamos la operación inversa de la raíz cúbica, elevar al cubo ambos miembros, pues la función raíz cúbica es uno a uno . $$y^3=(\sqrt[3]{x-2})^3$$ Esto lo hacemos para simplificar . $$y^3= x-2$$ Despejamos en la ecuación resultante $$ x=y^3+2$$



Ejercicios
Despeje $x$ en cada ecuación
4.1) $y=10^{3x+1};\qquad x $
4.2) $y-3=\sqrt[5]{ \frac{x+7}{4} };\qquad x $

4.1) $x=\dfrac{\log(y)-1}{3};$
4.2) $x=4(y-3)^5-7$

Pulsa el botón de tu respuesta para verificar



Despejar la variable en una ecuaciones con una raíz, o con un logaritmo o una expresión exponencial en la variable.
En ocasiones F(expresión en la variable) no está despejada, como paso previo hay que despejarla, para caer en la situación recién descrita.

Ejemplo Despejar $x$ en $$y-\log(x-3)+5=0$$
Solución
Primero despejamos $\log(x-3).$
$\log(x-3)=y+5 \quad$ Tomamos la operación inversa del logaritmo
$10^{\log(x-3) }=10^{ y+5 }\quad$ Simplificamos
$x-3=10^{ y+5 }\quad$ Despejamos $x$
$x=10^{ y+5 }+3\quad$



Comentarios En ecuaciones logarítmicas y exponenciales, en vez de ver el logaritmo y la exponenciación como operadores inversos uno del otro, resulta muy cómodo verlos como funciones inversas una de la otra, pasando de una forma a la otra, escribiendo la ecuación sabiendo que el logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para producir el número. Ver en el enlace

No necesariamente hay que tomar la operación inversa de la exponencial, se puede tomar logaritmos con otra base.

En el enlace mostramos como despejar $t$ en la fórmula de interés compuesto tomando logaritmos comunes o decimales.

Ejemplo
Despejar $t$ en


Resolución



DISTINTOS PROCEDIMIENTOS

Hay distintos procedimiento o formas de proceder para despejar una variable en una ecuación. Al lado se tiene un documento pdf en que se muestra una ecuación en que se despeja una de las variables de tres maneras.

Ejemplo Despejar $R_1$ en $$ \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1+3}+\dfrac{1}{R_2+2} $$

Tres procedimientos para despejar $R_1$





USANDO PROPIEDADES PARA
LLEVARLA A UNA DE LAS FORMAS DADAS

En el documento mostramos algunas ideas para llevar una ecuación a la forma

F(expresión en la variable)=F(otra expresión en la variable)
o
F(expresión en la variable)=expresión sin la variable

y de allí se despeja la variable usando los métodos descritos.


Ejemplo Despejar la variable indicada
a) $\ln(xy)-\ln(x+1)=\ln2, \qquad x $
b) $y=\dfrac{Ae^{\alpha t}}{B+Ce^{\alpha t}},\qquad t $

Problemas resueltos


Ejercicios Despeje $x$ en cada ecuación
5.1) $y=\dfrac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}};$
5.2) $\ln x+2\ln y=\ln(x+2)$

Respuestas    
En la fracción del lado derecho, multiplicar numerador y denominador por $3^x.$

Distribuir y simplificar. La ecuación queda en términos de $3^{2x}.$

Despejar está expresión. Puedes pasar el denominador a multiplicar, sigue despejando.

Una vez despejado, tomar la operación inversa, simplificar y despejar en la ecuación resultantes
   

Pulsa el botón para ver ayudas

Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia, luego el logaritmo de un producto . Ambas de derecha a izquierda.

Ya queda de la forma $\ln(*)=\ln(**)$

Seguir resolviendo.



Ecuaciones cuadráticas en una expresión
con la variable a despejar

Es posible usar la fórmula cuadrática.

Si es incompleta de la forma

(expresión en la variable)2=otra expresión sin la variable

resulta muy cómodo tomar raíz cuadrada a ambos lados, sabiendo que la raíz negativa también es solución.


Este tipo de ecuaciones puede tener dos fórmulas de despeje, si determinamos que una de ellas, o ambas, salen del dominio natural de la variable, se elimina la fórmula.

Al usar la fórmula hay que verificar que los valores de la variable hagan los radicandos positivos, si se está trabajando para valores de la variables que sean números reales.

En el documento mostramos ejercicios resueltos de despeje en esta situación.

Ejercicios Expresar la variable indicada en términos de la variable indicada.
a) $ d=V_0+\frac{at^2}{2},\quad t$
b) $ P=EI-RI^2,\quad I$
c) $ y=P(1+r)^2,\quad r$
d) $ y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2},\quad t$

Soluciones paso a paso




Ecuaciones en que no es posible despejar una de las variables

Hemos visto que ecuaciones cuadráticas en la variable a despejar podemos obtener un despeje usando la fórmula cuadrática. También existe una fórmula para ecuaciones de tercer grado en la variable a despejar. Sin embargo, es imposible conseguir una fórmula de despeje general para las ecuaciones de cuarto grado o mayor en la variable de interés, no referimos a un despeje algebraico.

Ecuaciones en que la variable está en el argumento del logaritmo y fuera del argumento muchas veces no se puede despejar. Igual ocurre cuando tratamos combinaciones con la exponencial o alguna trigonómetrica. Abajo mostramos algunas ecuaciones en que no se puede despeja $x.$

a) $x+y\cos(x)=3; $

b) $e^x+xz+2=0; $

c) $\ln(xy)-x^2-x =0 $