Técnicas de derivación
Reglas para calcular la derivada de un producto y
un  cociente de funciones
¿Es la derivada de un producto el producto de las derivadas?
Hasta ahora hemos visto como la derivada de una suma es la suma de las derivadas, el límite de un
producto es el producto de los límites, el límite de un cociente es el cociente de los límites bajo ciertas
condiciones.  ¿Podemos extender este tipo de formulación con las derivadas de un producto o de un
cociente?
¿Es la derivada de un cociente el cociente de las derivadas?


ANIMACIÓN
DIFERENCIACIÓN DE UN PRODUCTO USANDO LA REGLA

Se muestra un ejemplo de como calcular la derivada de un producto usando la regla. Luego de derivar, se simplifica la expresión resultante.

Ejercicios Derivar



ANIMACIÓN
DIFERENCIACIÓN DE UN COCIENTE USANDO LA REGLA

Se muestra un ejemplo de como calcular la derivada de un cociente usando la regla. Luego de derivar, se simplifica la expresión resultante.

Ejercicios Derivar




Fijate en la similitud entre las fórmulas del producto y del cociente.

Regla del producto Sean f y g derivables entonces

             

En palabras se dice que :

La derivada de un producto es
la derivada del primero por el segundo (sin derivar)
más
el primero (sin derivar) por la derivada del segundo






Regla del cociente Sean f y g derivables con g( x ) ≠0 entonces

             

En palabras se dice que :

La derivada de un cociente es
la derivada del numerador por el denominador (sin derivar)
menos
el numerador (sin derivar) por la derivada del denominador
todo dividido
entre el cuadrado del denominador.

Ejemplo
Encontrar la derivada de
       
Justificar de igualdad en igualdad la propiedad que se esta usando.
Solución Tenemos un producto, aplicamos la regla
   
Pasa el puntero sobre la imagen para ver como proceder más rápido.
Ejemplo
Encontrar la derivada de
       
Justificar de igualdad en igualdad la propiedad que se esta usando.
Solución Tenemos un cociente, aplicamos la regla
   
Pasa el puntero sobre la imagen para ver como proceder más rápido.
ANIMACIÓN
¿Se puede derivar productos y cocientes sin usar dichas reglas?

Ya se vió al comenzar esta sección cómo funciones que eran productos y cocientes fueron escritas de manera equivalente como potencias, para entonces derivarlas usando la regla de la potencia. Algunas funciones conviene escribirlas de manera equivalente antes de derivar. En la animación se dan algunas recomendaciones de reescritura antes antes de derivar.


Ejercicios
a) Escriba como un múltiplo constante por una potencia:
kxr.
b) Derive sin usar la regla del producto y del cociente.

Solución
ANIMACIÓN
Reescribir antes de derivar

Se muestra dos situaciones en que se recomienda escribir un producto y un cociente como una suma, para derivar más rápido.
• Un monomio por una suma de potencias de la variable.
• Una fracción con denominador un monomio



Ejercicios
a) Escriba como una suma
b) Derive como una suma

Solución


Has visto en las respuestas que las funciones de arriba las hemos podido derivar escribiendo la función de manera equivalente en su dominio, para luego, derivar, aplicando la regla de la potencia. Pero no siempre lo podremos o es recomendable hacerlo, como las funciones que te presentamos
             
Decimos que la función h e es un producto pues puede ser interpretada como el producto de dos funciones
       
asi
h=fg.

De manera similar, podemos justificar que H es un cociente de funciones.

Podemos derivar este tipo de funciones usando las reglas del producto y del cociente.



¿Cómo identificar la expresión?
   
Para identificar la expresión se debe tomar en cuenta la jerarquía de operaciones:
Primero potenciación y radicación.
Segundo las multiplicaciones y divisiones.
Finalmente las sumas y restas.
Las operaciones entre paréntesis tienen prioridad.

Puedes identificar si la expresión es una suma, producto o potencia viendo cual sería la última operación que harías al evaluar la expresión en un número.
Funciones más complicadas para derivar
Suma con productos


Ejemplo
Derivar

Solución


Producto de tres funciones
Si tenemos tres funciones diferenciable, entonces se puede probar, asociando, que

Se asocian las dos primeras funciones



Ejemplo
Derivar

Solución
CONTENIDO RELACIONADO

Derivar funciones en que se combinan sumas, productos y cocientes

Ejercicios Derivar


1) Es una diferencia. La primera regla a usar es la de la diferencia. El primer término se deriva como un producto, el segundo como un cociente.

2) Es un cociente. La primera regla a usar es la del cociente. El numerador es un producto. Se usa la regla del producto para derivarlo. No se olvide de los paréntesis.

3) Para derivarlo se usa la regla de la diferencia:
    (   )´ – (   )´ – (  )´.
Es mejor reescribir el primer término antes de derivar. Descomponiendo como una suma de fracciones con igual denominador y entonces simplificar la variable en cada término. Entonces se aplica la regla de la diferencia evitando la regla del cociente.
El segundo término se usa la regla del cociente
El tercer término es una constante, su derivada es 0.